动态规划解决原图最短路径问题及HDOJ实例解析

在本次回顾中，我们探讨的是原图中的最短路径问题，这是一个经典的动态规划应用实例，主要针对ACM（Algorithmic Competitions in Mathematics）编程竞赛中的一个问题。ACM动态规划是解决优化问题的一种策略，通过将大问题分解成子问题并存储中间结果来避免重复计算，提高效率。 问题的核心是寻找从起点到终点的最短路径，给定一个有向图，每个顶点之间的边都附带有权重。在这个例子中，给出的图表示为一个简单的矩阵，其中包含了各个顶点（如V0-V1-V2-V3-V4-V5）以及它们之间的最短路径和路径长度。起点和终点明确，目标是找到一条从起点到终点的路径，使得路径总长度最短。 题目中提到的“搬寝室”问题（HDOJ_1421）是一个经典的动态规划问题，它要求在每次操作中选择两个物品搬入宿舍，使得搬动的物品重量差最小。参与者首先可能会质疑是否每次应该选取重量相邻的物品，通过数学证明，可以得出并非必须如此，关键在于找到最优的组合策略，即通过贪心法尝试每次选择重量差最小的组合，但还需考虑特殊情况，如物品重量分布不均时。 动态规划的典型特征在此问题中体现为分治思想与记忆化搜索。从最简单的情况开始，例如两个物品和四个物品的最优配对，逐步构建出解决更大规模问题的基础。随着物品数量的增加，问题转化为选择k对物品使其总重量差最小，这需要利用子问题的解来构建整体解，避免重复计算，即在状态转移方程中存储和更新已计算过的最短路径。 另一个示例“HumbleNumbers”挑战则要求找出一个特定序列中第n个仅由2、3、5或7的质因子组成的数，这同样可以通过动态规划方法，通过递推关系找到这些数的生成规律。 总结来说，这段内容深入讲解了动态规划在ACM问题中的实际应用，包括理解问题本质、构造贪心策略、分阶段解决问题以及记忆化搜索的重要性。通过解决这类问题，参赛者可以提升对动态规划的理解和算法设计能力。