勒让德伽略金谱方法在状态$H^1$模受限流体最优控制问题中的应用

"状态$H^1$模受限流体最优控制问题的勒让德伽略金谱方法分析" 本文由陈艳萍和黄封林撰写，发表于华南师范大学数学科学学院，探讨了一类特殊的流体最优控制问题，即受到$H^1$范数状态约束的Stokes方程最优控制问题。Stokes方程在流体力学中广泛用于描述无粘流体的运动，而$H^1$范数限制则确保了解的平滑性和物理意义。在这个问题中，目标是找到一个控制输入，使得流体系统的行为在满足特定约束的同时达到最优。 勒让德伽略金谱方法被用来对这个控制问题进行离散化处理。这种方法基于勒让德多项式，能够提供高精度的近似解，同时所需的计算未知量相对较少，这使得计算效率得以提高。由于选择了适当的基函数，离散后的系统矩阵呈现出稀疏结构，这对于大型数值计算来说是极其有利的，因为它可以减少存储需求和计算时间。 文章首先建立了连续控制系统的最优性条件，然后通过离散化过程，推导出了离散控制系统的最优性条件。接着，作者们进一步给出了先验误差估计和后验误差估计，这些误差估计对于理解解的质量和验证数值方法的收敛性至关重要。先验误差估计预测了解与真实解之间的最大偏差，而后验误差估计则可以在实际计算中用于调整参数或评估解的精度。 数值实验部分展示了所提出的勒让德伽略金谱方法在解决这类控制问题时的高效性和准确性，提供了实际应用的例证。通过具体的数值模拟，证实了该方法的有效性，并且可能为实际工程中的流体控制问题提供有价值的解决方案。 关键词涵盖了最优控制理论、状态约束、Stokes方程、勒让德多项式以及谱方法等领域，表明本文的研究结合了控制理论与数值方法，具有跨学科的广泛影响力。中图分类号O232表示这属于数学中的优化理论与方法范畴。 这篇论文为解决$H^1$范数状态约束下的流体最优控制问题提供了一个创新的数值方法，通过勒让德伽略金谱技术实现了高精度和高效计算，同时给出了误差估计，对于理论研究和实际应用都具有重要意义。