汉宁窗设计线性相位高通滤波器解析

"该资源是一份关于数字信号处理的习题解答，主要涉及滤波器设计和函数图形绘制。在滤波器设计部分，重点介绍了如何使用汉宁窗设计一个线性相位高通滤波器，而在函数图形部分则给出了不同函数的图形表示和变换。" 在数字信号处理领域，滤波器设计是一项核心任务，特别是在通信系统中用于抗干扰。汉宁窗是一种窗口函数，常用于改善离散傅立叶变换（DFT）或傅立叶级数的旁瓣衰减，以减少滤波器的过渡带失真。在这个问题中，目标是设计一个线性相位的高通滤波器，通常用于去除低频噪声或保留高频信号成分。 汉宁窗的定义为： ( ) w jw dH e , 0, 0 j c c e w w w w απ π π π − − − ≤ ≤  =   ≤ < −  其中，c 是常数，α 决定了窗口的形状，w 是角频率，N 是滤波器的长度。通过设置合适的 α 和 N，可以调整滤波器的通带宽度和滚降率。在这个例子中，Cw = 0.5π，N = 51，需要求出 h(n) 的表达式并画出 20 lg |H(jω)| 的曲线。 函数 h(n) 表示滤波器的冲击响应，它可以通过汉宁窗乘以单位脉冲响应（Dirichlet序列）来得到： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 1 ( ) 2 2 1 2 1 1 2 c c c w j wjw jwn jwn d d w w jw nj w cjw nj c h n H e e dw e e dw e e dw w e e wj n ππ π α π π ααπ π ααπ π π π ππ α + − − − + − − − − = = = +  =   −−   ∫ ∫ ∫ 计算这个积分，可以得到 h(n) 的具体表达式，进一步可以计算 H(jω) 并绘制其幅度响应曲线，即 20 lg |H(jω)|。这条曲线展示了滤波器的频率特性，包括通带、阻带以及过渡带的性能。 此外，题目还涉及了一些基本的信号操作，如时间平移、时间尺度变换和离散时间信号的卷积。例如，通过将函数 f(t) 与单位阶跃函数 u(t) 相乘，可以得到 t ≥ 0 时的信号，而通过改变时间变量 t 可以实现时间平移和尺度变换。 总结来说，这份资源提供了对数字信号处理基础概念的实践应用，包括滤波器设计、函数图形分析和基本信号操作，对于学习和理解数字信号处理的基本原理和技术具有重要的参考价值。