数值分析：线性方程组解法——直接法与迭代法

"该资源是研究生数值分析课程的第二章，主要讲解了线性方程组的解法，包括直接法和迭代法。" 在数值分析中，解决线性方程组是至关重要的，特别是在科学计算和工程领域。第2章主要介绍了几种常见的线性方程组解法。首先，直接法被提及，它是指通过有限步的四则运算得到精确解的方法，通常在计算过程中不考虑舍入误差的影响。直接法的一个关键实例是Gauss消去法，它包括顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法。顺序Gauss消去法通过行变换将系数矩阵转化为上三角形或下三角形，然后通过回代求解。列主元Gauss消去法则是为了减少计算中的舍入误差，选择每列的最大元素作为主元，优化了消元过程。 此外，三角分解法也是直接法的一种，主要包括杜利特尔与克洛特分解（LU分解）以及解三对角形方程组的追赶法。杜利特尔与克洛特分解是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得原方程组可以通过先解一个下三角方程组，再解一个上三角方程组来求解。追赶法则适用于处理对角主导的三对角线性方程组，通过迭代方式高效求解。 接着，课程讨论了误差分析，特别是方程组的性态与条件数。条件数衡量了解的存在性和稳定性，对于条件数大的方程组，即使微小的计算误差也可能导致解的显著偏差。 接下来是迭代法，这是处理大规模线性系统时常用的方法，因为它通常比直接法更节省计算资源。迭代法的一般形式是基于迭代公式，通过初始近似值逐渐逼近精确解。这里提到了两种常见的迭代法：雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。雅可比迭代法基于系统的对角占优性质，而高斯-赛德尔迭代法是对雅可比法的改进，它在每次迭代时利用当前行的信息，通常比雅可比法更快地收敛。 线性代数方程组的解法不仅涉及数学理论，还涉及到实际计算效率和误差控制。在实际应用中，需要根据问题的规模、条件数以及计算资源来选择合适的解法。对于小规模或条件良好的方程组，直接法可能更为合适；而对于大规模或条件数较高的问题，迭代法往往更具优势。在现代计算机上，由于加法和减法运算速度远超乘法和除法，因此在设计算法时会特别考虑这些因素，以降低计算复杂度，提高计算效率。