依范数收敛与线性赋范空间子空间

"该文档是关于线性赋范空间理论的速查手册，主要讨论了线性赋范空间的子空间、完备性以及依范数收敛的概念，来源于西安电子科技大学理学院杨有龙的《应用泛函分析原理》。" 在实分析基础中，集合与映射是重要的基础知识。集合的运算包括交集、并集、差集和补集。如果A和B是基本集X的子集，那么A和B的交集A∩B表示的是同时属于A和B的元素集合，而并集A∪B则是A和B所有元素的合并。差集A-B包含所有属于A但不属于B的元素，余集或补集cA=X-A代表X中除去A的所有元素。 在线性赋范空间中，定义了一个重要的概念——子空间。如果一个线性子空间1X是X的线性结构的一部分，并且在这个子空间上施加的范数是X中范数的限制，那么1X就是线性赋范空间X的子空间。进一步，如果1X在X中是闭合的，即它包含所有从X中以范数收敛的方式向它靠拢的序列的极限点，那么1X被称为闭子空间。特别地，一个完备的度量空间的子空间M是完备的，当且仅当它是该度量空间的闭子空间。 依范数收敛是线性赋范空间中的核心概念之一。在X为线性赋范空间，{nx}是一个点列，如果这个序列的极限存在并且当n趋向于无穷大时，范数||nx - x||趋于0，那么我们说点列{nx}依范数收敛于x，记作lim nx = x或(n→∞)nx→x。这个定义保证了线性赋范空间中的极限运算具有良好的性质，例如连续性和一致连续性。 这个文档特别强调了在讨论线性赋范空间的极限时，可以利用由范数诱导的距离d(x, y) = ||x - y||来定义点列的收敛性。这样的距离概念是泛函分析中许多重要定理和性质的基础，比如Banach固定点定理和Hilbert空间中的完备性等。 此外，文档还提及了集合的运算定律，如分配律和De Morgan公式。分配律表明交集和并集对于集合的补集操作具有一定的对称性，而De Morgan公式则揭示了集合补集与并集、交集运算之间的反演关系。 这些内容对于理解线性赋范空间的基本结构和分析工具至关重要，是研究泛函分析、偏微分方程、量子力学等领域必不可少的数学基础。