随机时间序列分析基础概念详解

"时间序列模型归纳总结复习汇编.pdf" 本文档主要介绍了时间序列模型的基本概念和分析方法，包括随机过程、时间序列的概率分布和数值特征、平稳性以及自相关性等方面的知识。 一、随机过程 随机过程是一个在不同时间点上取值的随机变量集合，它可以看作是随机变量的函数，其中时间t作为参数。对于离散参数的时间序列，即时间t只取整数，我们称之为随机序列或时间序列。例如，{Xt,t=0,±1,±2,…}表示一个离散时间的随机序列。而对连续时间的随机过程进行等间隔采样，也会得到一个离散随机序列。 二、时间序列的概率分布和数值特征 时间序列可以被视为无限维的随机向量，其概率分布通常由有限维分布簇来描述。这意味着，虽然理论上需要无限维的概率分布，但实践中通常通过研究有限个时间点上的分布来理解整个序列的行为。一维分布描述了每个时间点上随机变量的分布，如F-1(·)，F0(·)，F1(·)，…；二维分布则反映了两个不同时刻的联合分布，如Fij(·, ·)，i, j=0,±1,±2,…，(i≠j)。 三、平稳性和自相关性 1. 平稳时间序列：如果时间序列的统计特性（如均值、方差和协方差）不随时间移动而改变，那么这个序列就是广义平稳的。对于严格平稳序列，其均值和方差是常数，且任意两个时间点的差分序列的协方差只依赖于这两个点的时间差，而不依赖于具体的时间点。 2. 自相关性：时间序列中的自相关性是指当前观测值与过去观测值之间的统计关系。自相关函数（ACF）衡量的是一个时间序列滞后k期的观测值与其当前值之间的线性关系。如果一个时间序列具有显著的自相关性，说明序列中存在一定的趋势或周期性。 四、时间序列模型 1. 非线性时间序列模型：如ARIMA模型（自回归整合滑动平均模型），它结合了线性自回归模型（AR）、差分（I）和滑动平均模型（MA）来处理非平稳时间序列。 2. 状态空间模型：这种模型将时间序列看作是不可观测状态的函数，通过观测数据来估计这些隐藏状态。 3. GARCH模型：用于描述时间序列的波动性，特别适用于金融市场的波动分析。 五、时间序列预测 时间序列分析的一个重要应用是预测未来值。常见的预测方法包括基于历史数据的简单平均、移动平均、指数平滑以及上述的时间序列模型。预测的准确性取决于所选模型的适用性和参数估计的精度。 总结，时间序列模型是统计学和数据分析中的一大分支，广泛应用于经济、工程、气象学等领域，通过对时间序列数据的建模和分析，可以揭示数据的内在规律，进行预测和决策。