群表算法设计：测试二元运算乘法表的计算机实现

"这篇论文是2003年由张大坤和王光兴发表的，研究如何使用计算机算法测试二元运算的乘法表是否符合群表的特性。该研究得到了国家自然科学基金的支持，并在东北大学的信息科学与工程学院进行。文章主要探讨了构成群表的充要条件和相应的测试算法，包括对乘法表第一性质和第二性质的检验，以及针对不同情况的矩形元素遍历算法。此外，文章还讨论了主要算法的时间复杂性，并用Visual C++ 6.0实现了这些算法，对多个乘法表进行了测试并获得了正确的结果。" 本文主要关注的是在计算机科学领域，尤其是群论和代数学中的一个重要问题，即如何判断一个二元运算的乘法表是否符合群的性质，从而构成群表。群是代数学中一个基本的概念，它在密码学、计算机科学、物理学等多个领域有广泛应用。群表是描述群结构的一种直观方式，能够反映群的特性。 论文中提到，一个乘法表构成群表的充要条件是满足两个关键性质：封闭性和存在单位元。为了测试这些性质，作者提出了多种算法： 1. 对于第一性质（封闭性），提出了三种测试方法： - 直接逐行逐列检查所有元素，确保每个元素的运算结果仍在这个集合内。 - 按行或按列搜索相同元素，以确认运算结果的唯一性。 - 计算相异元素的数量，进一步验证运算的封闭性。 2. 对于第二性质（存在单位元），设计了三种搜索策略： - 自然升序法：按照元素的自然顺序查找与单位元1形成矩形的元素。 - 外推法：利用已知的运算结果推断出其他可能的组合。 - 小段优先法：优先处理局部区域，逐步扩展到整个表。 3. 在遍历二维乘法表，判断矩形第四个顶点元素的特性时，提出了四种算法： - 单个矩形移动：逐个检查每个可能的矩形。 - 按行或列（n-1）个矩形同时移动：一次性处理多行或多列的矩形。 - (n-1)^2个矩形同时移动：全面扫描所有可能的矩形。 - 改进的单个矩形移动：优化了单个矩形移动的效率。 论文还讨论了这些算法的时间复杂性，这对于理解和优化算法的性能至关重要。最后，通过Visual C++ 6.0实现的程序对这些算法进行了实际验证，表明它们在测试乘法表是否构成群表方面是有效的。 关键词：二元运算、乘法表、群表、算法、计算机测试。这篇文章对群论在计算机科学中的应用，特别是在设计和验证运算规则方面的实践价值，提供了深入的研究和实用的工具。