数理逻辑复习：命题联结词与逻辑系统

"命题联结词在数理逻辑中是构建复合命题的基础，它们允许我们将简单的真值函数组合成更复杂的逻辑表达式。在描述中提到了2元真值函数，包括析否（|）和合否（↓）这两个特殊的命题联结词。析否表示只要其中一个命题为真，整个复合命题就是真的；而合否则表示只有所有命题都为真，复合命题才为真。2元真值函数共有4种可能的组合，即 tt、tf、ft 和 ff，这4种组合对应了逻辑运算中的与（AND）、或（OR）、非（NOT）和蕴含（IMPLICATION）等基本逻辑操作。 在数理逻辑的命题逻辑部分，我们研究的是如何通过这些命题联结词构建逻辑系统P，该系统包含了定理和导出规则，以及对这些规则的语义分析，例如协调性和完全性。协调性意味着如果一个命题不能从公理和规则导出，则它的否定也不能被导出。完全性则是指如果一个命题在逻辑上是真的，那么它就能够从系统中导出。 命题逻辑还包括紧致性定理，它指出在一个逻辑系统中，如果一个命题的所有子集都有决定性的结论（全部可导出或全部不可导出），那么这个命题本身也是可导出的。消解法是一种证明技术，常用于简化逻辑表达式并进行推理。 进一步深入，一阶逻辑（也称为一阶谓词逻辑）扩展了命题逻辑的概念，引入了量词（存在量词和全称量词）和变量，允许我们描述更复杂的结构和关系。一阶逻辑的形式系统F包括符号表、项集、合式公式集、公理集和规则集，其语义通常通过模型来解释，而独立性则涉及公理和规则是否可以互换而不影响系统的性质。 等词（identity）在逻辑中是表示两个个体是否相等的关系，等词系统F=.则专门处理这一概念，并有对应的等词模型来解释这种关系。在实际应用中，等词经常出现在数学和计算机科学的多个领域，如数据库理论和逻辑编程。 最后，这份复习纲要还包含了历年的考博试题，这表明命题逻辑和一阶逻辑是高等数学教育中的重要组成部分，对于深入理解和应用逻辑原理至关重要。"