有限元法与三角形板单元位移函数解析

"该资源主要讨论了有限单元法在处理三角形板单元位移问题时的具体应用，特别是在一个特定的数学背景下。问题涉及到当三角形板的边与坐标轴平行且长度相等的情况，以及如何处理边界条件以确保解的准确性。通过解代数方程组来验证位移函数，并介绍了不同类型的求解方法，如配点法、子域法和伽辽金法。" 在有限单元法中，三角形板单元的位移函数是一个关键要素，它描述了单元内部点的变形状态。在给定的描述中，位移函数被表示为 \( \omega \alpha_{1}y^3 + \omega \alpha_{2}x^3 + \omega \alpha_{3}y^2x + \omega \alpha_{4}xy^2 + \omega \alpha_{5}x^2y + \omega \alpha_{6}xy + \omega \alpha_{7}x^2 + \omega \alpha_{8}y + \omega \alpha_{9}x \)，其中 \( \omega \) 是一个常数，\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_9 \) 是待定的参数。问题在于，当三角形的两边平行于坐标轴且长度相等时，如何确定这些参数。 为了解决这个问题，首先要设置三个节点的坐标，然后将位移函数代入到这些节点中，形成一个线性方程组。当边界条件满足时，即单元的边与坐标轴平行且长度相等，这个方程组的系数矩阵应当是奇异的，意味着存在无限多的解或无解，这反映了实际物理问题的特性。 接下来，描述了三种不同的求解策略： 1. **配点法**：这种方法要求残量 \( R(x) \) 在有限个特定点（通常是边界点）上精确等于零。在本例中，选取了 \( x = \frac{L}{3} \) 和 \( x = \frac{2L}{3} \) 两个点，通过 \( R(x) = 0 \) 来解出待定系数 \( a_1 \) 和 \( a_2 \)。 2. **子域法**：子域法要求在每个子域 \( \Omega_i \) 内，残量的积分等于零。通过划分整个区域并调整子域大小以适应局部变化，可以优化解的精度。在这种情况下，可能选择子域 \( \Omega_1 = \{0 \leq x \leq \frac{L}{2}\} \) 和 \( \Omega_2 = \{\frac{L}{2} \leq x \leq L\} \)，然后分别对这两个子域应用积分条件来解出系数。 3. **伽辽金法**：伽辽金法是一种特殊的加权余量法，其中权函数选择为插值函数，通常是位移函数的插值基。在这里，权函数 \( N_1 \) 和 \( N_2 \) 分别对应于三角形板的两个节点，通过将残量与权函数的乘积在全区域上积分并设为零，可以求解出待定系数。 这三种方法虽然有所不同，但都是为了确保解的正确性和满足边界条件。它们代表了有限元方法中数值求解的基本策略，可以在各种工程问题中灵活应用。