北美精算师 Exam P/1 公式速查表：2018版
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更新于2024-09-08
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"北美精算师考试(SOA EXAM P/1)的公式手册，标题为'Exam1/PFormulaSheets'，提供了考试所需的重要数学和概率论公式。这个文档对于准备参加该考试的学生来说是至关重要的资源，因为它涵盖了关键概念和技巧，帮助考生理解并运用在复杂的统计问题中。
首先，文件包含DeMorgan定律，这是集合论的基础，用于对事件的补集进行运算，如(A∪B)c等于Ac与Bc的交集，以及(A∩B)c等于Ac与Bc的并集。这些定律有助于理解和处理集合之间的相互关系。
其次，它包含了包括加法原理（|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|）和排除原则（|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|）在内的计数原理，这些在解决涉及集合和组合的问题时非常实用。
接下来是导数部分，列举了基本函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数以及复合函数的导数。这对于理解和计算函数变化率至关重要。
积分部分则详述了积分的基本性质，如线性性、可积常数倍数的性质，以及应用微积分基本定理的实例。还介绍了积分的换元法和分部积分法，这些都是解决不同类型的积分问题的核心策略。
此外，文件还提供了一些特定积分的快捷公式，例如幂律函数、指数函数、对数函数和特殊函数的积分，以及无穷区间上的特定积分公式，如指数衰减函数积分和阶乘的积分表示。
在概率论部分，定义了概率函数的基本属性，如概率总和为1，非负性和互斥事件的概率计算规则。同时，文档展示了概率空集、对立事件概率、以及事件包含关系如何影响概率的计算。
这份公式手册是北美精算师考试P/1的备考者不可或缺的工具，它系统地整理了关键的数学和概率论公式，有助于考生提高解题效率，增强在实际考试中的应用能力。无论是理解和记忆公式，还是实战练习，这份资源都能发挥重要作用。"
Exam 1/P Formula Sheets
WWW.PROBABILITYEXAM.COM
SETS
De Morgan’s Law
(A ∪ B)
c
= A
c
∩ B
c
(A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c
Inclusion-Exclusion Principle
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
|A∪B ∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B ∩C|−|A∩C|+|A∩B ∩C|
DERIVATIVES
Function Derivative
c 0
x
r
rx
r−1
cf(x) cf
0
(x)
f(x) + g(x) f
0
(x) + g
0
(x)
f(x) · g(x) f
0
(x) · g(x) + f(x) · g
0
(x)
f(g(x)) f
0
(g(x)) · g
0
(x)
e
x
e
x
ln x
1
x
a
x
a
x
· ln a
INTEGRALS
Properties of Integrals
Z
b
a
c dx = c · (b − a)
Z
b
a
[f(x) + g(x)] dx =
Z
b
a
f(x) dx +
Z
b
a
g(x) dx
Z
b
a
cf(x) dx = c
Z
b
a
f(x) dx
Z
b
a
f(x) dx =
Z
c
a
f(x) dx +
Z
b
c
f(x) dx
Applications of the FTC
Z
b
a
x
r
dx =
x
r+1
r + 1
b
a
(r 6= −1)
Z
b
a
1
x
dx = ln |x|
b
a
Z
b
a
e
x
dx = e
x
b
a
Z
b
a
c
x
dx =
c
x
ln c
b
a
INTEGRALS CONT.
Substitution
Z
b
a
f(g(x))g
0
(x) dx =
Z
g(b)
g(a)
f(u) du
Integration by Parts
Z
b
a
u dv = uv
b
a
−
Z
b
a
v du
Other Useful Identities
Z
b
a
xe
cx
dx =
xe
cx
c
−
e
cx
c
2
b
a
c 6= 0
Z
∞
0
x
n
e
−cx
dx =
n!
c
n+1
n ∈ N, c > 0
PROBABILITY AXIOMS
Probability Function Definition
1. P (S) = 1
2. P (A) ≥ 0 for all A
3. For mutually disjoint events A
1
, A
2
, . . .
P
∞
[
i=1
A
i
!
=
∞
X
i=1
P (A
i
)
Axiom Consequences
P (∅) = 0
P (A
c
) = 1 − P (A)
A ⊆ B =⇒ P (B ∩ A
c
) = P (B) − P (A)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)
− P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (A ∩ C)
+ P (A ∩ B ∩ C)
If S is finite with equally likely outcomes then P (A) =
|A|
|S|
COUNTING TECHNIQUES
Multiplication Rule
A compound experiment consisting of 2 sub-experiments with a
and b possible outcomes resp. has a · b possible outcomes.
Permutations
An ordered arrangement of k elements from an n element set
Count:
n
P
k
= n(n − 1) · · · (n − (k − 1)) =
n!
(n − k)!
Combinations
A k-element subset of an n element set
Count:
n
C
k
=
n
k
=
n!
k!(n − k)!
Properties of Binomial Coefficients
n
X
k=0
n
k
= 2
n
n
k
=
n
n − k
n
n − 1
k − 1
= k
n
k
n
k
=
n − 1
k − 1
+
n − 1
k
m + n
r
=
r
X
k=0
m
k
n
r − k
Counting Rules
# of ways to select k elements from n total elements:
order matters order doesn’t matter
replace n
k
n + k − 1
k
don’t replace
n!
(n − k)!
n
k
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