PCA实战：梯度上升法求解主成分分析

"PCA实战1：使用梯度上升法求解主成分分析" 主成分分析（PCA）是一种常见的数据分析技术，用于降维和发现数据集的主要结构。在本实例中，我们将通过编程实现PCA，特别是在二维数据上使用梯度上升法来寻找最大化方差的方向，也就是主轴。 PCA的核心目标是找到数据的最大方差方向，这可以通过解决一个优化问题来实现，即寻找一个权重向量`w`，使得数据在该向量方向上的投影方差最大。在给定的描述中，我们首先创建了一个具有线性相关性的二维数据集`X`，其中第二列是第一列的0.75倍加上噪声。 在进行PCA之前，通常需要对数据进行中心化处理，使得每个特征的均值为0。在代码中，我们使用了`demean()`函数来实现这一过程，它将输入数据减去每一列的平均值。 接着，我们采用梯度上升法来求解优化问题。梯度上升法是求解函数最大值的一种方法，与梯度下降法相反，后者用于最小化函数。在本例中，我们定义了一个`gradient_ascent()`函数，它以初始权重向量`initial_w`、学习率`eta`、迭代次数`n_iters`和精度阈值`epsilon`作为参数。函数内部，我们持续更新权重向量`w`，直到目标函数的变化小于预定的精度阈值。 在每次迭代中，权重向量`w`都会沿梯度方向增加，但为了保持`w`为单位向量，每次更新后都调用了`direction(w)`函数来规范化它。这个规范化步骤确保了`w`始终是一个单位向量，从而保证了其方向的唯一性。 计算出第一个主成分后，为了获取第二个主成分，我们需要在已知的第一个主成分上做减法，消除原始数据在第一个主成分方向的投影。这个过程通过`first_component()`函数实现，同样使用梯度上升法，但在迭代过程中，我们会减去当前主成分向量`w`在数据上的投影，以找到新的最大方差方向。 在实际应用中，PCA不仅可以用于二维数据，还可以扩展到更高维度，通过计算连续的主成分来降低数据的复杂性，同时保留尽可能多的信息。这种方法常用于机器学习模型的预处理，以减少特征的维度并提高模型的效率和性能。