中科大算法导论：函数增长与算法效率比较

中科大算法导论课程中的“函数增长”部分是中国科学技术大学计算机科学专业的核心课程之一，由著名教授庄连生在2010年春季学期主讲。这一讲义涵盖了渐进记号的概念及其在算法分析中的应用，它是理解算法效率和比较算法性能的基础。 主要内容分为两大部分： 1. **渐进记号**： - 课程介绍了五个基本的渐进记号：O (Big O)，它表示函数的上界，用于描述算法运行时间的最大可能增长率；Ω (Omega)，表示函数的下界，表示算法运行时间的最小可能增长率；Θ (Theta)，既是上界又是下界，当算法的运行时间既不小于某个函数也不超过该函数时，称其为θ；o (Little o)，表示一个函数的增长速度比另一个函数快；以及ω (Omega Notation)，表示一个函数的增长速度至少是另一个函数的倍数。 - 渐进记号主要用于在极限情况下描述算法的效率，通过抽象掉低阶项和常数因子，关注的是算法在最坏情况下的行为。 2. **常用函数与算法效率比较**： - 举例说明了归并排序和插入排序的运行时间，归并排序的时间复杂度是Θ(n log n)，而插入排序是Θ(n^2)，这展示了利用渐进记号对比不同算法的相对性能。 - 学习如何通过渐近记号来衡量和比较算法的运行时间，例如，两个算法的运行时间如果分别是O(f(n))和O(g(n))，如果存在常数c和正整数n0，对于所有n>n0，有f(n) <= c * g(n)，则称f(n)在渐进意义下小于或等于g(n)。 此外，课程还讨论了渐近记号的定义域通常是自然数集N，但在实际分析中，为了方便，这些概念有时也会扩展到实数域。这一部分的学习对理解算法分析至关重要，因为它帮助学生掌握如何在实际问题中选择和设计高效算法。 通过学习这个主题，学生能够提升分析问题的能力，识别算法之间的主要区别，从而在实际编程和优化过程中做出明智决策。无论是理论研究还是工程实践，了解函数的增长性都是一项核心技能。