ARCH模型的建立是金融时间序列分析中一种关键方法，尤其针对存在非线性异方差现象的时间序列数据，如汇率、股票价格等。该模型由罗伯特·恩格尔（Robert Engle）在1982年提出，主要用来捕捉数据中波动性的自回归条件异方差特性。以下是模型建立的详细步骤：
1. **基础步骤**：
- 首先，对给定的时间序列数据（如收益率）建立计量模型，去除其中的线性关系。这可能涉及到选择条件均值模型，如线性回归或自回归移动平均（ARMA）模型，然后估计模型参数。
2. **ARCH检验**：
- 在模型估计后，对残差进行ARCH效果检验，确认是否存在异方差问题。如果检验结果显示存在自回归的异方差性，那么就需要考虑引入ARCH模型。
3. **模型阶数识别**：
- 识别ARCH模型的阶数，这通常通过计算残差的自回归平方和的统计量（如Ljung-Box检验）来决定。不同阶数的ARCH模型（如ARCH(1), ARCH(2),…）对应于波动性滞后项的不同数量。
4. **模型估计**：
- 根据识别的阶数，构建并估计具体的ARCH模型，如标准的ARCH(1)模型：\( \sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2 \)，其中 \( \omega \) 是常数，\( \alpha_1 \) 是系数，\( r_{t-1} \) 是前一期的残差。
5. **模型检验与调整**：
- 估计完成后的模型需要进一步检验其有效性，比如通过残差的单位根检验、正态性检验等。根据检验结果，可能需要对模型进行调整，比如添加GARCH成分来描述随机波动。
6. **波动特征**：
- 数据中的波动性并非固定不变，而是呈现出“波动集群”现象，即一段时间内方差较小，随后可能突然增大。此外，收益率序列还具有“高峰厚尾”分布，即尾部概率密度高于正态分布，表明异常值发生的可能性较大。
7. **自回归条件异方差模型类型**：
- 自回归条件异方差模型分为确定函数刻画的GARCH模型（如GARCH(1,1)）和随机波动方程描述的随机波动率模型。ARCH模型作为GARCH模型的一种特殊形式，它假设波动率是由过去误差的平方线性加权决定的。
ARCH模型是金融领域中用于处理异方差问题的重要工具，通过对时间序列数据的深入分析，可以更准确地估计风险和预测未来波动性。在实际应用中，模型的阶数选择和参数估计精度对最终结果有显著影响。
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