ARCH模型的建立是金融时间序列分析中一种关键方法,尤其针对存在非线性异方差现象的时间序列数据,如汇率、股票价格等。该模型由罗伯特·恩格尔(Robert Engle)在1982年提出,主要用来捕捉数据中波动性的自回归条件异方差特性。以下是模型建立的详细步骤:
1. **基础步骤**:
- 首先,对给定的时间序列数据(如收益率)建立计量模型,去除其中的线性关系。这可能涉及到选择条件均值模型,如线性回归或自回归移动平均(ARMA)模型,然后估计模型参数。
2. **ARCH检验**:
- 在模型估计后,对残差进行ARCH效果检验,确认是否存在异方差问题。如果检验结果显示存在自回归的异方差性,那么就需要考虑引入ARCH模型。
3. **模型阶数识别**:
- 识别ARCH模型的阶数,这通常通过计算残差的自回归平方和的统计量(如Ljung-Box检验)来决定。不同阶数的ARCH模型(如ARCH(1), ARCH(2),…)对应于波动性滞后项的不同数量。
4. **模型估计**:
- 根据识别的阶数,构建并估计具体的ARCH模型,如标准的ARCH(1)模型:\( \sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2 \),其中 \( \omega \) 是常数,\( \alpha_1 \) 是系数,\( r_{t-1} \) 是前一期的残差。
5. **模型检验与调整**:
- 估计完成后的模型需要进一步检验其有效性,比如通过残差的单位根检验、正态性检验等。根据检验结果,可能需要对模型进行调整,比如添加GARCH成分来描述随机波动。
6. **波动特征**:
- 数据中的波动性并非固定不变,而是呈现出“波动集群”现象,即一段时间内方差较小,随后可能突然增大。此外,收益率序列还具有“高峰厚尾”分布,即尾部概率密度高于正态分布,表明异常值发生的可能性较大。
7. **自回归条件异方差模型类型**:
- 自回归条件异方差模型分为确定函数刻画的GARCH模型(如GARCH(1,1))和随机波动方程描述的随机波动率模型。ARCH模型作为GARCH模型的一种特殊形式,它假设波动率是由过去误差的平方线性加权决定的。
ARCH模型是金融领域中用于处理异方差问题的重要工具,通过对时间序列数据的深入分析,可以更准确地估计风险和预测未来波动性。在实际应用中,模型的阶数选择和参数估计精度对最终结果有显著影响。