随机过程期末试题与答案详解

"这份资料是2017-2018年电子科大的随机过程期末考试试题及答案，包含了6页题目，涵盖了随机过程的相关概念和计算，如泊松分布、随机过程的数学期望、马尔科夫链、等待时间序列、状态空间等，并涉及了证明题和具体计算题。" 随机过程是概率论中的一个重要概念，广泛应用于通信、统计物理、金融工程等领域。试题中提到的几个关键知识点包括： 1. **泊松分布**：泊松分布是一种描述在一定时间或空间内随机事件发生次数的概率分布，特征函数是指数函数的负指数形式。题目中第一题要求确定服从参数为λ的泊松分布的随机变量X的特征函数。 2. **随机过程的数学期望**：随机过程X(t)的数学期望是其在各个时间点上取值期望的函数。第二题中给出了X(t)的定义，求其数学期望。 3. **马尔科夫链**：马尔科夫链是一种状态转移模型，其中系统在下一状态只依赖于当前状态，不依赖于过去的历程。题目中涉及了马尔科夫链的一步转移概率矩阵和n步转移矩阵的关系，以及初始概率、绝对概率和n步转移概率之间的联系。 4. **泊松过程**：泊松过程是随机过程的一种，其特点是事件发生的时间间隔服从指数分布，且这些间隔是独立的。题目中提到了泊松过程的点间间距性质，并讨论了与之相关的等待时间序列。 5. **状态空间**：在随机过程或马尔科夫链中，状态空间是所有可能状态的集合。第六题描述了一个随机过程X(t)，要求确定其状态空间。 6. **更新方程**：更新方程是概率论中的一个重要工具，用于描述某个随机过程随时间演变的过程。第九题给出的更新方程是求解过程的一部分。 7. **条件概率的乘法公式**：这是概率论中的基本定理之一，证明条件概率的乘法公式涉及到概率论的基本运算和理解。 8. **独立增量过程**：独立增量过程是指过程在任何两个时间点之间增加量独立于过去的所有信息。证明题中要求证明这样的过程是一个马尔科夫过程。 9. **切普曼-科尔莫戈洛夫方程**：这是马尔科夫链理论中的核心定理，描述了马尔科夫链的n步转移概率可以通过一步转移概率来计算。 通过解答这些题目，学生可以深入理解随机过程的基本概念、性质和计算方法，同时提高分析和解决问题的能力。