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群环域概念与性质探讨:子群陪集与环的定义
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更新于2024-07-01
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在第七章《群环域》中,主要讨论了离散数学中的核心概念,包括群、环以及它们的性质。章节首先回顾了群的基本概念,如子群和其陪集,强调了陪集的性质和陪集与等价之间的关系,以及著名的拉格朗日定理。拉格朗日定理指出,一个有限群G的子群H的元素个数总是整除群G的元素个数。 接着,章节重点介绍了置换这一概念,它是群论中的一个重要元素,尤其是置换群,这是由所有有限排列组成的群,具有重要的应用。这里的重点是循环群,包括生成元的概念,n阶循环群(每个元素都可以通过有限次运算回到自身,且只有唯一生成元)以及无限循环群(存在一个元素可以生成整个群)。 此外,还讲解了置换群的定义和性质,探讨了群同态与同构,区分了单一同态、满同态和群同构的概念。同态是保持群结构的映射,同构则是表示两个群在结构上完全相同的映射。 进入环的概念部分,定义7.24明确了环的定义,它要求加法和乘法满足一定的条件,如加法构成交换群,乘法构成半群,并且加法和乘法之间满足分配律。环中的运算顺序通常是先乘后加。随后,定义7.25进一步细化了环的类型,如可交换环、含幺环、无零因子环和布尔环,以及整环的特性。 举例中,章节列举了几个常见的环,如整数集合Z、实数集合R、有理数集合Q、偶数集合E和复数集合C,展示了这些集合在数学中的典型角色。例如,例7.27中的𝒁𝒁𝒏𝒏,+𝒏𝒏,∗𝒏𝒏是一个含幺可交换环,它明确地指出了零元和幺元的存在。 第七章涵盖了群和环的定义、性质以及它们在数学中的重要作用,这对于深入理解抽象代数的基础理论至关重要。理解这些概念有助于后续在密码学、编码理论、数论等领域进行更高级别的研究。
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7.6.1 环的概念与性质
• 定义7.25 给定环⟨ R , + , • ⟩ ,
若⟨ R, • ⟩是可交换半群,则称⟨ R , + , • ⟩是可交换环;
若⟨ R, • ⟩是独异点,则称⟨ R , + , • ⟩是含幺环;
若∀,∈, = ⇒ = ∨ = ,则称R是无零因子环;
若⟨ R, • ⟩满足等幂律,则称⟨ R , + , • ⟩是布尔环;
若R既是交换环、含幺环,又是无零因子环,则称R是整环。
2017/11/22 55/21
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