高中数学：变量间的线性相关与回归分析

"该文档是2021届针对福建理科学生的大学第一轮复习材料，主题为‘变量间的相关关系’，主要涵盖了如何通过散点图识别和理解两个变量之间的相关性，以及如何运用最小二乘法建立线性回归方程。" 在统计学和数据分析中，变量间的相关关系是一个重要的概念，它描述了两个或多个变量之间的关联程度。文档首先介绍了两个变量的线性相关性： 1. 正相关 - 当散点图中的点沿对角线自左下角向右上角分布时，表明随着一个变量的增加，另一个变量也倾向于增加，我们称这种关系为正相关。 2. 负相关 - 相反，如果点沿对角线自左上角向右下角分布，即一个变量增加时，另一个变量减少，这被称为负相关。 3. 线性相关关系与回归直线 - 当点大致聚集在一条直线上，说明两个变量有线性相关性，这条直线称为回归直线。回归直线的目标是最好地拟合数据点，最小化所有点到直线的距离的平方和，这种方法即最小二乘法。 接着，文档讲解了回归方程： 1. 最小二乘法 - 这是一种求解回归直线的方法，旨在找到最佳拟合线，使得所有数据点到该线的垂直距离（即残差）的平方和最小。 2. 回归方程的形式 - 回归方程通常表示为 `y = a + bx`，其中 `a` 是截距，`b` 是斜率，它们是通过计算样本数据得出的待定参数。 文档还包含了一些自我检测题目，用于检验对这些概念的理解，包括： 1. 选项A强调了相关性不等于因果关系，正确。 2. 通过散点图的形状可以判断变量的相关性方向，但题目未提供具体图形，所以无法确定答案。 3. 回归直线方程 `-0.7x + c` 中，`c` 的值可以通过将已知点的坐标代入公式求解。 4. 对于表格数据，需要计算中位数（中等收入）以及判断年平均收入和支出的线性相关性，这通常涉及到计算相关系数以衡量其强度。 这份学案提供了关于变量间相关性及最小二乘法的基本理论和应用，对于理解和应用统计分析方法，尤其是在预测和建模领域，是非常有价值的。通过解决文档中的问题，学生可以深化对这些概念的理解，并提升数据分析技能。