优化的瀑布型多重网格法解二次Lagrangian有限元

"这篇论文是2011年由李明和李郴良发表在《山西大学学报（自然科学版）》上的，主要讨论了求解二次Lagrangian有限元方程的瀑布型多重网格法。他们提出的新算法结合了新外推公式和二次插值技巧，以改善细层的初始值，从而提高了算法的精度和效率。相比于基于部分几何信息的代数多重网格法，新算法表现出更优的性能。文章中还提到了Lagrangian有限元法在解决偏微分方程中的重要性，以及瀑布型多重网格法的历史发展和相关研究进展。" 本文关注的是在解决二次Lagrangian有限元方程时采用的一种高效算法——瀑布型多重网格法（CMG）。Lagrangian有限元法是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程，尤其适用于处理复杂的几何形状问题。它分为线性元和高次元，其中高次元因为能提供更好的逼近度而被广泛应用。 多重网格方法（MG）是解决由偏微分方程离散化产生的线性系统的一种高效技术，其优势在于计算复杂度与问题规模呈线性关系。瀑布型多重网格法（CMG）由德国的学者在20世纪90年代提出，随后得到了中国学者如石钟慈和许学军等人的理论发展和优化分析。 李郴良教授在2007年提出，通过使用特定的插值算子可以提升CMG法的收敛速度。陈传淼教授则在2007年至2008年间改进了经典的外推法，提出了新外推公式，并结合CMG法，创建了新外推瀑布型多重网格法，该方法在数值实验中显示出高计算效率。 另一方面，许进超教授和舒适教授等人发展了一种基于部分几何信息的代数多重网格（AMG）法，特别适用于单纯形剖分下的高次Lagrangian有限元方程，这种方法在运算效率和稳健性方面表现出色。 然而，尽管CMG法在解决线性有限元方程方面有广泛应用，但在处理高次Lagrangian有限元方程的研究相对较少。论文作者通过将新外推公式和二次插值技巧结合起来，设计了一种新的CMG法，旨在填补这一领域的空白，且在数值实验中证明了新算法在精度和效率上的优越性。