数理逻辑复习笔记：从集合到递归定义

"最经典最简约的面向计算机科学的数理逻辑复习笔记.pdf" 数理逻辑是计算机科学的基础，它探讨的是命题之间的逻辑关系，特别是关注前提与结论之间的可推导性，强调形式而不是具体内容。本笔记涵盖了数理逻辑的基础概念，如形式语言、集合、关系、函数、等价关系、基数以及归纳定义和证明。 首先，笔记介绍了集合的概念，包括内涵（共同性质）和外延（所有元素），以及有序偶和笛卡尔积。关系则涉及集合上的n元关系，特别是一元关系，即集合上的性质。函数（映射）被定义为集合、有序偶和特定性质的组合，包括定义域和值域。等价关系的特性包括自反性、对称性和传递性，以及等价类和集合的划分。基数是衡量集合元素数量的量，分为有限集、无限集和可数无限集。 接下来，笔记讨论了归纳定义和归纳证明。归纳定义通过直接生成元素、运算规则来构建集合，例如自然数集N的两种归纳定义。归纳证明基于归纳定理，包含归纳基础和归纳步骤，是证明数学命题的有效方法。递归定义是在归纳定义的基础上定义函数，如自然数集上的函数，遵循递归定义原理，保证了函数的存在性和唯一性。 在经典命题逻辑部分，笔记讲解了命题的基本概念，包括简单命题和复合命题，以及真假值的判断。联结词是构造复合命题的关键，包括非（否定）、与（合取）、或（析取）和蕴含。这些基本的逻辑操作构成了命题逻辑的核心，它们决定了命题之间的逻辑结构和推理规则。 通过对这些概念的理解，学习者可以更好地分析和构造逻辑论证，这对于计算机科学中的算法设计、形式验证和自动推理等领域至关重要。数理逻辑不仅提供了理论基础，还对编程语言的设计、编译器的构造以及人工智能中的推理系统有着深远影响。因此，掌握数理逻辑对于计算机科学的学习和实践至关重要。