数值分析：第二章 代数插值法

"第二章 插值法" 插值法是数值分析中的核心概念，它是一种构造函数近似的方法，特别是在函数解析式未知的情况下。当我们在一个特定区间[a, b]上有一系列点(xi, yi)，其中yi是函数f(xi)的值，我们可能想要找到一个简单的函数，这个函数在这些点上的值与原始函数f(xi)相同，这就是插值法的目标。 插值法的基本原理可以概括如下：给定n+1个互异的节点(xi, f(xi))，目标是找到一个次数不超过n的多项式P(x)，使得P(xi) = f(xi)，对于所有的i = 0, 1, ..., n。这个多项式P(x)被称为f(x)的n次插值多项式，而满足P(xi) = f(xi)的条件(2.1)被称为插值条件。插值余项R(x) = f(x) - P(x)表示在插值点之外的x处，插值函数与原函数之间的差异。 在实际应用中，选择代数多项式作为插值函数是因为它们易于数值计算和理论分析。例如，拉格朗日插值法使用一组拉格朗日基多项式，每个基多项式仅在对应的插值节点上非零，然后将这些基多项式线性组合以构建插值多项式。拉格朗日插值公式可以表示为： P(x) = Σ [f(xi) * L_i(x)], 其中L_i(x)是第i个拉格朗日基多项式，它由以下公式定义： L_i(x) = Π [(x - x_j) / (xi - x_j)] 对于所有j ≠ i。 此外，还有牛顿插值法，它使用差商来构造插值多项式，牛顿插值公式通过向前或向后差分表来构建，具有更好的数值稳定性。 定理1表明，在给定的n+1个互异节点下，n次代数插值问题有且只有一个解。这是因为多项式的唯一性是由插值条件决定的，即在每个插值节点上多项式的值是确定的，这保证了解的唯一性。 插值法的应用广泛，包括数据拟合、曲线生成、科学计算和工程问题的解决。然而，需要注意的是，尽管插值多项式在插值节点上精确匹配函数，但在这些点之外可能会出现振荡或过大的误差，这是由于插值多项式可能无法捕捉到函数的所有特性，如周期性或尖峰。因此，选择合适的插值方法和控制插值阶数是非常重要的，以达到最佳的近似效果和计算效率。