马尔可夫链：状态周期与遍历解析

"状态的周期与遍历-马尔可夫链" 马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一个系统随时间演变的行为，其中未来的状态仅依赖于当前状态，而不依赖于它是如何达到该状态的。这个特性被称为无记忆性或者无后效性。在马尔可夫链中，我们关注的状态的周期与遍历是两个关键概念。 **周期状态** 是马尔可夫链中的一个重要特性，它涉及到状态之间转移的长期行为。对于马尔可夫链中的状态 \( i \)，如果存在一个正整数 \( d \) 使得从状态 \( i \) 出发，经过 \( d \) 步后有非零概率返回到状态 \( i \)，且不存在更小的这样的整数，那么状态 \( i \) 就是周期态，其周期 \( d \) 定义为 \( d \) 的最大公约数（GCD）。若没有这样的 \( d \)，则称 \( i \) 为非周期态。例如，如果从状态 \( i \) 开始，总是经过 3 步后回到 \( i \)，那么状态 \( i \) 的周期就是 3。 **遍历状态** 是马尔可夫链中另一种重要的状态类型，它是指那些既正常返又非周期的状态。正常返意味着从该状态出发，经过足够多的步骤，可以以非零概率再次到达任何其他状态。同时，如果一个状态是非周期的，即不存在某个整数使得状态在固定步数后返回自身，那么该状态被称为遍历状态。在图4-2中，可能存在着遍历状态，但具体哪些状态满足条件需要根据转移概率矩阵来确定。 **马尔可夫链的应用示例** 包括了多种实际场景。例如，醉汉游动模型是一个简化的随机游动过程，描述了一个质点在直线上的移动。在这个模型中，质点在[1,5]区间内移动，有吸收壁（1和5）会阻止质点继续移动。质点在2,3,4位置时，会以相等的概率向左或向右移动；而在1,5位置时，则会停留原地。通过计算一步转移概率矩阵，我们可以分析质点在不同位置的概率分布。 另一个例子是带有反射壁的随机游动，状态空间包括所有非负整数。在这种情况下，游动者在0位置时，有一定概率向右移动，也有一定概率留在原地。在其他位置，游动者同样以概率p向右移动，以概率q向左移动。这构成一个齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵可以明确写出，用于描述系统随时间的演变。 总结来说，马尔可夫链在理解和预测各种随机过程的动态行为方面非常有用，其周期状态和遍历状态的概念为我们提供了分析系统长期行为的工具。无论是醉汉游动还是带有反射壁的随机游动，都是马尔可夫链理论在实际问题中的应用实例，展示了它们在处理复杂随机现象时的威力。