北航数值分析大作业二：上三角化与QR分解特征值求解

北航数值分析大作业二是一份针对数值分析课程的重要任务，主要涵盖了矩阵操作和特征值计算的相关内容。作业的核心部分包括两个关键算法的设计和实现： 1. 上三角化算法：该部分要求学生编写一个名为`upper_triangular_matrix`的函数，用于将矩阵A转换为上三角矩阵。算法步骤涉及检查行向量是否全零，若全零则结束当前行的操作，否则进行元素替换和更新，直至矩阵变为上三角形式。这种变换对于求解线性方程组和计算行列式等数值分析问题非常有用。 2. 双步位移QR分解：这一部分涉及到寻找矩阵A的所有特征值。首先，通过调用`upper_triangular_matrix`函数获取上三角矩阵，并设置一定的精度和最大迭代次数。接着，采用迭代的方法，通过判断当前的特征值情况（与剩余矩阵的秩相关），逐步确定特征值。当找到新的特征值时，会更新计数器并继续查找，直到达到预设条件或者达到最大迭代次数为止。最终，如果所有特征值都找到，就宣告计算完成。 3. MQR分解算法：在双步位移过程中，需要对特定子矩阵进行QR分解，这涉及到一个名为`MQR_decomposition`的函数。该函数负责对矩阵进行QR分解，这是特征值计算过程中的核心步骤，因为它能将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，从而简化特征值问题。 整个作业不仅考察了学生对数值分析基本概念的理解，还要求他们具备编程实现的能力，能够灵活运用矩阵运算和算法优化技巧。完成这个作业有助于提升学生的矩阵理论知识，以及算法设计和数值稳定性处理的实践经验。