电磁学基础：麦克斯韦方程与边界条件解析

"这篇资源包含了电磁场与电磁波的相关试题及答案，主要涉及教育和考试领域，适合于学习和复习电磁学知识。" 在电磁学中，麦克斯韦方程组是一组基本的微分方程，描述了电场(E)、磁场(B)以及它们的源——电荷密度(ρ)和电流密度(J)之间的关系。非限定情况下的麦克斯韦方程组微分形式如下： 1. ∇·D = ρ：电位移矢量D的散度等于电荷密度，这表明电场是由电荷产生的。 2. ∇×E = -∂B/∂t：电场的旋度等于磁场随时间的变化率，揭示了变化的电场可以产生磁场，这是位移电流的概念。 3. ∇·B = 0：磁场的散度为零，意味着磁场没有源点或汇点，即不存在磁单极子。 4. ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t：磁场的旋度等于电流密度加上电场随时间变化产生的磁化电流。 时变电磁场在理想导体与理想介质分界面的边界条件是关键，它们规定了电场E、磁场H、位移电流D和磁场强度B在分界面上的连续性或跳跃关系： 1. E_{2n} - E_{1n} = 0：电场的法向分量在界面两侧相等。 2. H_{1s} - H_{2s} = J_n：磁场的切向分量在界面两侧的差异等于表面电流密度。 3. D_{2n} - D_{1n} = σ：位移电流的法向分量的差异等于表面电荷密度。 4. B_{1n} = B_{2n}：磁场的法向分量在界面两侧相等。 矢量位、动态矢量位与动态标量位是电磁学中的重要概念，它们与电磁场的描述密切相关： 1. 矢量位A：定义为A = -∇Φ - ∂A/∂t，其中Φ是标量位，A是动态矢量位。 2. 动态矢量位A_E：表示为A_E = -∂A/∂t，它是与时间变化相关的部分，通常在时变场中使用。 3. 动态标量位Φ：是与时间无关的部分，用于静态场。库仑规范要求A的散度为零，而洛仑兹规范要求A的时间变化率的散度为零，这些规范确保了矢量位的唯一性。 穿过闭合曲面的通量是衡量场线通过该曲面的程度，它体现了场的源或汇。如果通量为正，表示场线从曲面内部流出；如果为负，表示场线向内部汇聚；为零则表示无源或汇。 矢量场的散度与坐标选择无关，这可以通过在直角坐标系和球坐标系中分别计算矢量场A的散度来证明，结果始终相同，表明散度是一个几何不变量。 亥姆霍兹定理是电磁学中的基本定理之一，它指出任何无旋且无源的矢量场都可以表示为旋度和散度均为零的场的梯度。这一定理对于理解和解决复杂的电磁问题具有重要意义，例如，它可以用来解析电磁场在空间的分布和传播。 这份资源涵盖了电磁场的基本理论、边界条件、场的性质以及矢量分析中的重要定理，对于准备电磁学考试或者深入理解电磁现象的学生来说是非常宝贵的参考资料。