动态规划应用：求解数字三角形的最大和

"本文介绍了动态规划的基础知识，并通过两个具体的例子——陪审团的人选问题和数字三角形问题——来阐述其应用。动态规划是一种优化技术，常用于解决最优化问题，通过将大问题分解为子问题，然后组合子问题的最优解来得到原问题的最优解。" 在动态规划中，我们通常会遇到一个问题，即如何通过解决较小规模的子问题来构建大规模问题的解决方案。在陪审团的人选问题中，目标是找到一组陪审团成员，使得控方和辩方评分之差的绝对值最小，同时保证双方总分之和最大。这个问题可以通过动态规划的方法解决，定义状态 dp[i][j] 表示在前 i 位候选人中选出 j 位陪审员时，使得双方评分差值绝对值最小的方案。通过遍历所有可能的陪审员组合，更新 dp 状态，最终得到 dp[n][m] 即为最优解。 数字三角形问题是一个经典的动态规划问题，要求找到从三角形顶部到底部的最大路径和。我们可以定义状态 dp[i][j] 为到达第 i 行第 j 个数字的最大路径和。对于每个 dp[i][j]，它可以从上一行的 dp[i-1][j] 或 dp[i-1][j-1] 更新而来，取两者中的较大值加上当前数字。通过自底向上计算 dp 数组，最终 dp[N][1] 就是所求的最大路径和。 在实际编程实现中，通常会使用递归或迭代的方式来执行动态规划算法。例如，上述数字三角形问题的参考程序I 使用了递归方式，通过 MaxSum 函数计算到达每一层的最佳路径和。然而，递归方法可能会导致大量重复计算，效率较低。为提高效率，可以使用记忆化搜索（使用数组存储已计算过的子问题结果）或自底向上的迭代方法。 动态规划是一种强大的算法思想，广泛应用于计算机科学和信息技术领域，包括但不限于图形算法、最短路径问题、背包问题、字符串匹配等。理解和掌握动态规划有助于解决复杂的问题，并优化解决方案的时间和空间复杂度。在 C++、C 等编程语言中，动态规划的应用可以帮助编写出高效且优雅的代码。