信号与系统分析：微分方程解与响应计算

"该资料是关于连续系统的时域分析的习题册，主要涉及微分方程的求解、零输入响应、零状态响应和完全响应的计算，以及冲激响应和阶跃响应的分析。适用于西电本科生的学习，内容涵盖电路分析中的连续系统问题。" 在连续系统的时域分析中，微分方程是描述系统动态行为的关键工具。习题册的第二章深入探讨了如何解决这类方程，包括求解系统的初始条件，例如在给定初始状态下的零输入响应(ZIR)、零状态响应(ZSR)和完全响应。例如，对于微分方程 (a) \( y'' + 6y' + 8y = f(t) \)，当 \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 1 \) 时，需要求解 \( y''(0) \) 和 \( y'''(0) \)。同样，对于微分方程 (b) \( 2y'' - 4y' + 5y = e^{-t}f(t) \)，当 \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 2 \) 时，也要找出对应的值。 接下来，习题要求学生通过微分方程来确定系统的动态特性。例如，对于微分方程 (a) \( 4y'' + 3y' + y = e^{-t}f(t) \)，需要求解零输入响应、零状态响应和完全响应。同样，微分方程 (b) \( 4y'' + 4y' + 3y = e^{-t}f(t) + e^tf(t) \) 的响应也需要被计算出来。 电路分析是时域分析的一个重要应用领域。习题中给出了几个电路的例子，要求学生列出输出电流或电压的微分方程，并计算零状态响应。例如，一个电路中电源 \( S(t) = 2e^{-t}u(t) \)，需要求解输出电流 \( i(t) \) 的零状态响应。 此外，冲激响应 \( h(t) \) 和阶跃响应 \( g(t) \) 是分析线性时不变系统(LTI)的重要特性。习题要求学生根据给定的微分方程计算这两个响应。例如，对于微分方程 \( 2y'' + y' - y = f(t) \)，需要找到冲激响应 \( h(t) \) 和阶跃响应 \( g(t) \)。 这些习题旨在帮助学生掌握连续系统的时域分析方法，包括微分方程的求解、响应计算以及对电路的分析。通过解决这些问题，学生能够提升对系统动态特性的理解，并学会如何应用这些理论到实际电路设计中。