共振下非线性系统形式初次积分不存在性判定

本文探讨了非线性系统在一般共振情况下形式首次积分的不存在性问题。首先，作者黎文磊、许治国和石少云基于正常形理论，提供了一系列判定准则，这些准则对于分析非线性系统的动态行为至关重要。正常形理论是一种数学工具，用于简化和研究具有特定频率比（即共振）的系统，它通过展开系统到高阶来揭示其基本性质。 系统（1.1）中的向量值函数f(u)，当它在原点处为零时，系统被研究。一个非平凡的函数Φ：U → C被称为该系统的首次积分，如果对于所有通过原点的轨迹，Φ(u(t))保持常数。如果首次积分是可微的，那么它满足微分方程的条件 dΦ/dt|_{(1.1)} = ⟨∂Φ/∂u, f⟩ ≡ 0，这里的内积表示两个向量之间的标准点积。 文章的重点在于考虑的是形式上的首次积分，即当Φ(u)是以u为变量的幂级数形式且满足上述条件时，它的存在与否。一般而言，非线性系统的非平凡形式首次积分的不存在性表明系统可能表现出混沌行为或复杂动态，这与经典的可积系统（有明确解析首次积分的系统）形成对比。 作为应用，作者不仅给出了判定非线性系统在共振条件下形式首次积分不存在性的具体方法，还特别针对一类高阶扰动系统，如某些可积哈密顿系统的推广，提供了非积分性的判据。这不仅扩展了对非线性动力学的理解，也为后续研究提供了实用的工具和框架，尤其是在物理学、工程学和数学建模等领域，这类结果对于理解和控制这类系统的稳定性以及预测其长期行为具有重要意义。