编程题解：PoJ 3174 行星对齐问题

"poj 3174 Alignment of the Planets.md - ACM竞赛中的几何问题" 这道题目是POJ（编程之美）3174题，名为"Alignment of the Planets"，实际上是一个关于几何排列的问题。题目背景是牧场上的牛，但核心是解决一组点的共线性问题。在ACM（国际大学生程序设计竞赛）中，这类问题通常涉及到数学和算法的结合。 题目描述： 题目给出了一个N（1≤N≤10000）的整数，表示有N头牛，每头牛的位置由一对(x, y)坐标表示，坐标都是非负整数，且没有两头牛位于同一位置。任务是找出所有三头牛恰好共线的组，即它们在二维平面上处于一条直线上。每组共线的牛应按它们的ID号从小到大排序，并且所有组也要按照这个顺序排列，如果有相同的ID组合，则根据第二个和第三个ID号进行排序。 输入描述： 第一行：一个整数N，表示牛的数量。 接下来N行：每行包含两个用空格分隔的整数，分别代表第i头牛的x坐标和y坐标。 输出描述： 第一行：一个整数，表示共有多少组三头共线的牛。 接下来的行：每行包含三个用空格分隔的整数，分别代表一组共线牛的ID号。这些行按题目要求的顺序排列。 输入例子： ``` 8 00 04 12 24 43 45 51 65 ``` 输出例子： ``` 1 134 ``` 提示： 处理浮点数时需谨慎，尽管题目中的坐标是整数，但在实现算法时可能需要考虑浮点数的近似问题，以确保结果的准确性。 解题思路： 1. 可以采用斜率作为判断共线的依据，对于任意三点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，如果它们共线，则斜率相等，即 (y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 - y2) / (x3 - x2)。 2. 遍历每一对点，计算斜率，然后将斜率作为关键字建立一个哈希表或平衡二叉搜索树，以快速查找是否存在第三个点使得斜率相同。 3. 找到共线的点后，记录下这三个点的ID，并按题目要求排序。 4. 最后输出共线组的数量以及排序后的共线牛ID。 在实际编程中，需要注意浮点数精度问题，可以设定一个很小的误差范围（例如1e-9），当两个斜率的差值在这个范围内时，认为它们相等。此外，由于数据规模不大，可以直接使用暴力枚举，时间复杂度为O(N^3)，在给定的限制内是可行的。如果数据规模更大，可以考虑更高效的算法，如射线法或凸包算法等。