最短路径算法解析：Dijkstra与松弛技术

"输出路径-最短路径问题" 在图论和计算机科学中，最短路径问题是一个经典的问题，旨在找到图中两个节点之间具有最小权值的路径。这个问题广泛应用于网络路由、交通规划和各种优化问题。描述中的`print`程序是一个递归算法，用于打印从节点i到节点j的路径，如果存在这样的路径；如果不存在路径，它会输出“节点i与节点j之间不存在通路”。 最短路径问题分为三种类型： 1. 单源最短路径问题：寻找从单一源节点u到达图中所有其他节点的最短路径。通过反转边，可以将这个问题转化为从所有其他节点到源节点u的单源最短路径问题。 2. 单对节点间的最短路径问题：仅需找出从节点u到节点v的一条最短路径。 3. 每对节点间的最短路径问题：需要计算图中每一对节点u和v之间的最短路径。Floyd-Warshall算法是一种解决此问题的方法，但它的时间效率较低，且要求图中不存在负权回路。 松弛技术是解决单源最短路径问题的关键。这个技术通过不断减少节点的实际最短路径的上限，直到找到确切的最短路径。若给定路径P=<V1, V2, ..., Vk>，其中Pij=<Vi, Vi+1, ..., Vj>是Vi到Vj的子路径，根据定理，Pij是Vi到Vj的最短路径，且对于所有边(u, v)∈E，有(s, v)的路径长度不大于(s, u)的路径长度加上(u, v)的权重。 初始化单源算法如`initialize_single_source`，为每个节点v设置初始的最短路径估计d[v]为无穷大，父节点f[v]为nil，源点s的d[s]设为0。 `relax`过程用于检查并更新节点u到v的最短路径，如果可以通过u改进当前的最短路径估计，就更新d[v]和f[v]。 Dijkstra算法是解决带非负权重边的有向图最短路径问题的一种高效算法。它维护一个集合S，其中的节点已确定了从源节点r的最短路径，并使用最小优先队列Q来处理未确定最短路径的节点。每次从队列中取出节点并更新其邻居的最短路径，直到队列为空，所有节点的最短路径都被确定。