卡尔曼滤波公式推导与递推估计解析

"本资源主要讲解了固定值的递推估计问题，通过MATLAB编程题引入，涉及卡尔曼滤波公式的推导。课程适合有一定基础的大学生，特别是对发明创造有兴趣的学习者。内容涵盖批量估计方法，以及如何将批量估计转化为递推估计，通过具体的量测方程和协方差矩阵的处理，最终推导出递推形式的估计公式。" 在本次课程中，我们首先回顾了上一节课提到的批处理方法用于估计固定量的概念。这个方法基于最小二乘原理，通过量测方程和误差的统计特性来估计未知量。量测方程描述了待估计量X与量测Yk之间的关系，而误差Vk假设为零均值且具有一定的协方差。 公式(1.7)和(1.8)定义了待估计量X和量测Yk的期望值及协方差。量测方程(1.9)展示了Yk与X的关系，其中误差Vk的协方差由公式(1.10)给出。为了最小化误差，我们使用协方差的逆矩阵作为加权阵构造最小化函数(1.11)，这样可以提高对小量测误差的敏感性。最小二乘解(1.12)给出了最佳估计。接着，通过计算估计误差的协方差(1.13)和期望值(1.14)，我们得到公式(1.15)，即估计误差的协方差Pk。 进入递推估计的讨论，关键在于将批量估计转化为随时间变化的形式。大神Dsy引导我们将量测方程(1.9)改写为不同时间步的形式，如公式(1.20)所示，这为构建递推算法奠定了基础。这种改写允许我们在每个时间步骤中利用当前和过去的信息来更新我们的估计，这就是卡尔曼滤波的核心思想。 预测步骤(Xk=aXk-1)和更新步骤(gk=pk-1/(pk-1+r)pk=(1−gk)pk-1)是卡尔曼滤波中的关键环节。预测步骤根据上一步的估计和系统动态更新状态；更新步骤则结合新量测信息对预测结果进行修正，以达到最优估计。 本资源深入浅出地介绍了固定值的递推估计过程，结合了数学推导和实际问题的解析，对于理解和应用卡尔曼滤波具有很高的价值。通过学习这部分内容，读者可以掌握如何将批量估计转换为递推形式，并应用于实际的MATLAB编程实践中。