正交小波详解：Haar与Shannon示例与构造

正交小波概述是现代信号处理领域的重要概念，特别是在信号处理教程中占有重要地位。本文主要围绕正交小波这一主题进行讲解，以Haar小波和Shannon小波为例，阐述其基本原理和特点。 Haar小波是一种典型的正交基，它的尺度函数和母小波在时间域中具有简单的结构。尺度函数的定义分为两个部分，一个是周期性的部分(11.1.1)，另一个是非周期性的部分(11.1.2)，这两个部分的非重叠特性使得Haar小波在时频分析中有独特的应用。Haar小波的这种性质使得它在信号分解和特征提取上具有高效性和简单性。 Shannon小波则属于更广泛的正交小波族，它们满足正交性，即对任何两个不同尺度或频率的小波，其卷积结果为零，这对于信号处理中的能量分离和分析至关重要。正交小波要求波函数在不同尺度和频率下具有良好的局部化特性和良好的频域分辨率，这是区别于其他信号分析方法的关键特性。 提到的现代信号处理教程由胡广书编著，针对的是清华大学研究生课程，特别是“随机信号的统计处理”内容。教程分为三篇，共计12章，分别探讨了非平稳信号的时频分析（如短时傅立叶变换、Gabor展开等）、信号的抽样与滤波器组、以及小波变换。其中，小波变换作为新兴的信号处理理论，包括离散小波变换的多分辨率分析、正交小波和双正交小波的构造等内容。 小波变换与滤波器组密切相关，滤波器组是信号频带剖分的工具，可以实现非均匀的频率分析，是小波变换的基石。小波变换与第一篇中的时频分析有继承关系，但更侧重于局部特征的捕捉和信号的精细分析。 本书第一章虽然属于第一篇，但它是全书基础，作者参考了多部经典著作，如Quantan Shi'e和Chen Daping的《Joint Time-Frequency Analysis》以及P.P. Vaidyanathan的《Multirate Systems and Filter Banks》等，这些著作对于深入理解小波理论和技术提供了丰富的资源。 正交小波概述是现代信号处理中的核心概念，其理论基础和应用广泛，尤其是在多抽样率信号处理和时频分析中占据关键地位。通过学习小波变换，不仅可以了解信号的精细结构，还能提高信号处理的精度和效率。