独立随机变量乘积概率密度与高斯分布比值的柯西分布

在本篇文档中，讨论了关于湍流2课程中的一个数学作业问题，涉及连续随机变量的概率密度函数计算。学生袁磊祺，学号2001111690，于2021年11月3日前需提交电子版作业，其中包含对两个独立随机变量x和y乘积的概率密度表达式的推导。 首先，题目要求找到新随机变量s=f(x,y)，其中s等于x和y的乘积，即s=xy。由于x和y是独立的，它们的概率密度函数可以写作P(x,y)=P(x)P(y)，其中P(x)和P(y)分别是x和y的单独概率密度。利用Dirac delta函数（δ函数），可以将原联合概率密度P(x,y)与s的关系转化为： \[ P(s) = \iint_{-\infty}^{\infty} P(x)P(y) \delta(s - xy) \, dx \, dy \] 通过代入x和y的独立高斯分布概率密度，即 \( P(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \) 和类似的表达式对于y，以及利用δ函数的性质，得到s的概率密度表达式为： \[ P(s) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(s/x)^2}{2}} \frac{1}{|x|} \, dx \] 简化后，得到： \[ P(s) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi|x|} e^{-\frac{s^2}{2x^2}} \, dx \] 这个积分展示了两个独立高斯分布随机变量的比值s/x的概率密度函数，它实际上是一个标准的柯西分布，即： \[ P(s) = \frac{1}{\pi(1 + s^2)} \] 这证明了当两个独立的高斯随机变量按照特定函数比例（这里是乘积）时，其比值的分布遵循柯西分布。这一结果在统计学和随机过程中有重要应用，尤其是在信号处理、物理系统建模以及金融工程等领域。 总结来说，该文档介绍了如何通过独立随机变量的概率密度函数推导它们乘积的新的概率密度函数，并且揭示了当这两个变量具有高斯分布时，乘积变量与比值变量的概率密度形式之间的关系。这对于理解随机过程中的相关性分析和统计模型至关重要。