模拟滤波器到数字滤波器的转换：脉冲响应不变法与双线性变换

"脉冲响应不变法及双线性换法" 脉冲响应不变法是一种将模拟滤波器转换为数字滤波器的技术，其主要目标是使得数字滤波器能够尽可能复制模拟滤波器的特性。这种方法的核心是通过采样过程来实现模拟滤波器的单位脉冲响应在数字领域中的再现。具体来说，数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)被设计成模拟滤波器冲击响应ha(t)的采样值，即h(n) = h_a(t_n/T)，其中T是采样周期。 在这个过程中，拉普拉斯变换和Z变换扮演了关键角色。模拟滤波器的冲击响应ha(t)的拉普拉斯变换为Ha(s)，而数字滤波器的单位脉冲响应h(n)的Z变换为H(z)。根据采样定理，两者之间有如下关系： \[ H(z) = \mathcal{Z}\{h(n)\} = \mathcal{L}^{-1}\{Ha(s)\} \cdot \left(\frac{e^{sT}}{1 - ze^{-sT}}\right) \] 这个关系揭示了从S平面到Z平面的映射，即模拟信号的拉普拉斯变换通过周期延拓和z=esT的映射转换到Z变换。然而，这种映射不是简单的代数映射，即不存在s=f(z)的关系。这导致数字滤波器的频率响应不是简单重现模拟滤波器的频率响应，而是其周期延拓，周期为Ω_s = 2π/T。 在脉冲响应不变法中，S平面的每个宽度为2π/r的横带都会映射到Z平面的整个平面，其中左半部分映射到单位圆内，右半部分映射到单位圆外，而jω轴映射到单位圆上。如果模拟滤波器的频率响应被限制在折叠频率ω_c = π/T内，那么数字滤波器可以不失真地重现模拟滤波器的频率响应。然而，由于实际模拟滤波器的频率响应通常不会严格受限，因此会存在频谱混淆和失真。模拟滤波器在折叠频率以上衰减越大，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器性能就越好。 对于具有部分分式表达式的传递函数，如仅包含单阶极点的模拟滤波器，脉冲响应不变法特别适用。这些滤波器的传递函数可以写成部分分式的形式： \[ H_a(s) = \sum_{k=1}^M \frac{R_k}{s - P_k} \] 其拉普拉斯逆变换给出模拟滤波器的脉冲响应： \[ h_a(t) = \sum_{k=1}^M R_k e^{P_k t} u(t) \] 这里，\( R_k \) 是部分分式的系数，\( P_k \) 是极点，而 \( u(t) \) 是单位阶跃函数。通过脉冲响应不变法，我们可以将这样的模拟滤波器转换为具有相似特性的数字滤波器。然而，要注意的是，由于转换过程中存在的失真，这种方法可能不适合设计需要高精度频率响应的滤波器。在实际应用中，可能会考虑使用其他方法，如双线性变换，以获得更好的频率响应匹配。