有限单元法基础与应用

"基本假设-有限单元法课件" 有限单元法是一种广泛应用的数值分析方法，主要用于解决工程中的复杂结构和连续体的力学问题。它将连续区域离散化为多个互不重叠的单元，每个单元都有一个简单的数学模型，并通过节点连接形成整体结构。这种方法使得复杂的实际问题可以通过数值计算转化为线性代数问题来求解。 在有限单元法中，有几个关键的基本假设： 1. 法线不变性：假设薄板在变形后，其法线方向保持不变，这意味着薄板的弹性曲面依然沿着原本的法线方向弯曲。 2. 中面无平行位移：假设薄板中面上的点在变形过程中没有沿中面的平动，即所有位移都是垂直于中面的。 3. 挤压应力忽略：在分析中通常忽略挤压应力对结构变形的影响，这样可以简化问题，但可能会影响对某些特定情况的精确度。 有限元法的分析过程通常包括以下步骤： 1. 结构物的离散：将结构划分为有限个单元，单元数量和大小取决于所需的计算精度和计算资源。例如，杆件结构可以划分为多个线性或非线性单元，而薄板则可能被划分为四边形单元或三角形单元。 2. 位移模式确定：每个单元的位移用节点位移的线性组合近似，位移函数形式由单元形状和类型决定，通常通过形函数来表达。 3. 单元特性分析：通过几何方程（应变与位移的关系）和物理方程（如胡克定律，应力与应变的关系）来定义单元的行为。这包括变形矩阵、弹性矩阵以及单元刚度矩阵的计算。 4. 单元刚度方程的建立：基于虚功原理或最小势能原理，确定单元在给定荷载下的平衡条件，从而获得单元刚度矩阵。 5. 整体方程组的建立：将所有单元的刚度矩阵组合成整体刚度矩阵，将单元荷载转化为整体结点荷载，最终形成一个大的线性代数方程组。 6. 解决方程组：通过数值方法（如高斯消元法或迭代方法）求解整体方程组，得到各节点的位移，进而推算出结构的应力、应变分布。 在程序设计与软件应用方面，有限元法有多种商业化软件，如ANSYS、ABAQUS、Nastran等，它们提供了用户友好的界面和丰富的功能，涵盖了从结构、流体到热传导等多种物理现象的模拟。专用软件则针对特定领域，如COMSOL Multiphysics用于多物理场问题，ANSYS CFD用于流体动力学等。 有限单元法是一种强大的数值计算工具，通过合理的假设和离散化处理，能够有效地分析各种工程结构的力学行为，广泛应用于机械、土木、航空航天、汽车制造等领域。