台湾交通大学矩阵分析讲义

"这篇讲义来自台湾交通大学的矩阵分析课程，由吴培元老师主讲。主要内容涵盖了矩阵理论的关键概念，包括但不限于矩阵的基本性质、酉等价与相似性、约当正规形、非负矩阵（佩逊-弗罗本ius定理）以及数值范围等。参考书目为R.A. Horn & C.R. Johnson的经典著作《矩阵分析》和《矩阵分析专题》。课程评估包括平时出席、课堂表现、期中和期末习题。" 在矩阵分析这个领域，我们首先会接触到的是**矩阵**，它是线性代数中的基本元素，用于表示线性变换。一个矩阵是大小为\( m \times n \)的矩形数组，包含\( mn \)个元素。矩阵乘法遵循特定规则，例如矩阵\( A \)乘以矩阵\( B \)时，只有当\( A \)的列数等于\( B \)的行数时才能进行。 **酉等价与相似性**是矩阵分析中的重要概念。两个矩阵如果可以通过单位ary变换（即酉矩阵）互相转换，它们就是酉等价的，这反映了它们在某种意义上具有相同的几何效果。而矩阵的相似性是指存在可逆矩阵\( P \)使得\( P^{-1}AP \)是另一个矩阵，这样的关系保持了矩阵的特征值，但可以改变其特征向量。 **约当正规形**（Jordan形式）是每个复数对角矩阵与一个给定矩阵相似的最简单形式，它将矩阵分解为一系列更简单的块，每个块对应一个特征值。约当正规形在研究矩阵的结构和性质时非常有用。 **非负矩阵**在概率论、图论和马尔科夫链等领域中有广泛应用。**佩逊-弗罗本ius定理**是关于非负矩阵的一个关键结果，它指出非负矩阵的 Perron 主特征值（即最大的实部为正的特征值）是唯一的，并且对应的特征向量所有分量都是正的。 **数值范围**（Numerical range）又称谱半径，是矩阵所有可能特征值的集合的闭包内的凸包，它可以提供矩阵某些性质的直观度量，如矩阵的稳定性或奇异值分布。 讲义还涉及到了**基**和**线性变换**的概念。在向量空间\( V \)和\( W \)之间，线性变换\( T: V \rightarrow W \)将\( V \)中的基映射到\( W \)中的基，可以由一个矩阵来表示，其中矩阵的列是映射的基向量在新基下的坐标。 在学习矩阵分析的过程中，不仅需要掌握这些基本概念，还需要深入理解它们之间的相互关系，以及如何利用这些工具来解决实际问题。通过吴培元老师的矩阵分析课程，学生可以系统地学习这些理论，并通过习题进一步巩固和应用。