图论算法详解：割点、重连通分量与边连通性

"连通图、割点、重连通分量、边连通性、图论算法" 在图论中，连通图是指在无向图中任意两个顶点都存在路径相连的图。割点是这样的顶点，如果从图中移除它及其相关的边，会导致图不再连通。在图8.3和8.4中，割点的存在对图的连通性至关重要，因为它们是维持图连通性的关键点。如果一个无向连通图没有割点，即所有顶点的点连通度κ(G)>1，那么这个图被称为点双连通图或重连通图。点双连通图的特性是任何一对顶点之间至少存在两条不共享内部顶点的路径，这使得即使去掉某一个顶点，图依然保持连通。在通信网络中，点双连通图是非常理想的，因为它能确保即使某一站点故障，整个网络仍能正常运作。 点双连通分量是连通图中最大的重连通子图，其中不存在割点。一个连通图可能包含多个重连通分量，每个分量内部都是点双连通的，而割点可能属于多个重连通分量。例如，图8.4(a)所示的连通图包含了六个重连通分量，通过分解可以清晰地看到这一点。 无向图的边连通性是图论中的另一个重要概念，它关注的是边在保持图连通性中的作用。割边集是这样一组边，当从图中移除它们后，会导致图变为不连通。割边集的概念与割点集类似，但关注的是边而不是顶点。这两种连通性的度量在分析图的结构稳定性、网络的可靠性以及优化问题中都有重要的应用。 本书《图论算法理论、实现及应用》深入探讨了图论算法，不仅介绍了基本概念，如邻接矩阵和邻接表的存储方式，还涵盖了图的遍历、树与生成树、最短路径、网络流、点集问题以及图的连通性和平面图着色等问题。这本书适合高等院校计算机及相关专业作为图论课程教材，同时也适用于ACM/ICPC等算法竞赛的训练。 图论起源于欧拉解决的哥尼斯堡七桥问题，这个问题展示了如何将实际问题转化为图论模型。欧拉的解决方案为后来的图论研究奠定了基础，至今仍然是图论领域的重要里程碑。通过抽象和简化问题，欧拉证明了某些图是否可以进行特定类型的遍历，这在图论的许多现代应用中仍然具有指导意义。