高斯-厄米特积分在不确定性量化中的应用

"Uncertainty Quantification and Predictive Computational Science 中文 part2" 本文涉及的主题是不确定性量化和预测性计算科学，特别是关于高斯-厄米特积分在处理概率和统计不确定性中的应用。高斯-厄米特积分是一种特殊类型的数值积分方法，常用于计算特定形式的积分，特别是与正态分布相关的积分。 高斯-厄米特积分公式如(9.12)所示，它用来近似计算形如\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-x^2} dx \)的积分。这个公式使用了n个点的加权平均，每个点的坐标\( x_i \)是高斯函数Hen(x)的根，权重\( w_i \)可以通过公式(9.13)计算得到，即\( w_i = \sqrt{\frac{\pi}{n!}} \)。这种积分方法能够精确地计算出最高到2n-1次的多项式积分。 表9.4列出了最高阶为6的高斯-厄米特正交点的非负横坐标和权重。这些点关于原点对称，所以只需要给出正坐标的大小。正交规则的一个关键特性是，当被积函数f(x)是2n-1次或更低次的多项式时，使用n个点的高斯求积规则可以得到精确结果。这与正交多项式的维数和规则中的自由度相匹配，即n个点和n个权重。 计算正交点和权重可以使用多种算法，例如Golub和Welsch算法。这些算法的历史和细节可以在Townsend (2015)的参考文献中找到。 高斯-厄米特积分在处理正态分布参数的不确定性时特别有用，因为正态分布的概率密度函数（PDF）与高斯函数密切相关。例如，图9.3展示了PDF随机变量g(x)的cos(x)图形，这可能是在分析含有随机成分的物理或工程问题时遇到的一种情况。 不确定性量化是预测性计算科学中的核心概念，它涉及到在模型中考虑输入参数的不确定性，并预测这些不确定性如何影响输出结果。这在诸如气候变化模型、工程结构的可靠性分析、金融风险评估等领域都有广泛应用。通过高斯-厄米特积分等工具，科学家和工程师能够更好地理解和表述模型预测中的不确定性，从而做出更稳健的决策。