线性系统最优控制：闭环下LQ指标与反馈设计

闭环系统的系统矩阵在最优控制理论中扮演着关键角色，特别是在涉及线性系统和二次型指标的情况下。线性二次型问题（LQ）是一种特殊的优化问题，它的核心在于寻找使得系统性能指标达到最小化的控制策略，同时保持系统的线性结构。 第五章详述了线性系统在不同情况下的最优控制问题。首先，引入了线性二次型问题的概念，指出在非线性系统中寻找最优控制通常会导致复杂的非线性两点边值问题，这些问题的求解往往非常棘手。然而，对于线性系统，如果指标函数是二次型的，如最短时间和最少燃料等，问题简化为求解黎卡提方程，这是一个经典的数学工具，它可以通过标准的计算机程序来解决，极大地便利了问题的求解。 接着，章节讨论了线性系统状态调节器问题，无论是连续系统还是离散系统，当目标是稳定系统或者优化特定性能指标时，都可以通过线性反馈控制律来实现。例如，在飞行器轨迹优化中，尽管原始的非线性状态方程可能导致控制误差，通过线性二次型的最优控制，可以改善开环控制的精度，抵消模型误差的影响，确保飞行器按照预定轨迹运行。 为了进一步减小误差，章节提出利用状态误差作为反馈，构造一个最优反馈控制，作为校正信号，以最小化状态偏差，从而让飞行器更准确地执行任务。这种优化方法在实际操作中具有重要的工程意义，因为它能够有效地应对复杂系统中的不确定性，并提供一种稳健的控制策略。 闭环系统的系统矩阵作为线性二次型指标的最优控制的核心元素，使得控制工程师能够设计出既高效又能处理模型误差的控制器，对于提高系统性能和稳定性具有不可替代的作用。通过解决黎卡提方程并应用线性最优反馈，可以显著简化控制问题，为现代控制理论的发展做出了重大贡献。