正则化光滑牛顿算法求解P0-函数混合互补问题

"求解P0-函数混合互补问题的正则化光滑牛顿算法 (2012年)，由唐嘉和马昌凤在福建师范大学学报(自然科学版)上发表，探讨了一种用于解决P0-函数混合互补问题的新方法。" 在优化理论和计算数学领域，混合互补问题（Mixed Complementarity Problem, MCP）是一种常见的非线性优化问题，涉及到寻找一组实数向量，使得某些函数的值等于零，同时满足互补条件。P0-函数是混合互补问题中的一类特殊函数，它们在某些特定点具有连续偏导数，但可能在其他点不连续，这给求解带来了挑战。 该论文提出的正则化光滑牛顿算法是基于CHKS（Chen-Harker-Kanzow-Smale）光滑化方法，这是一种处理非光滑优化问题的技术。CHKS函数通过扰动原问题来实现局部光滑化，使得原本可能不连续的梯度变得连续，从而可以应用牛顿法。正则化是指在原问题中引入一个正则项，以控制解的质量和稳定性，避免病态情况，而这里的正则参数和光滑参数是独立的，可以分别调整。 算法的核心在于，它将正则化和光滑化相结合，通过线性方程组的迭代来求解这两个参数，这通常比直接处理原问题更有效率。论文中提到，数值实验验证了这种方法的可行性和有效性，表明无论是在局部收敛性还是全局收敛性方面，该算法都表现出了良好的性能。 局部收敛性指的是算法从足够接近解的初始点开始时，能够收敛到问题的真实解。全局收敛性则是指对于任意的初始点，算法都能保证收敛到某个解，这对于实际应用中的问题求解至关重要，因为往往很难保证每次都能从理想位置开始迭代。 这篇论文贡献了一种新的求解P0-函数混合互补问题的算法，该算法通过独立的正则化和光滑化参数增强了算法的灵活性和效率，并在数值实验中显示了其优势。这一工作对于理解和解决实际工程和科学问题中的非线性优化挑战具有重要的理论和实践价值。