庞特里亚金极大值原理在时变最优控制问题中的应用

本文主要探讨了时变情况下的现代控制理论，特别是极大值原理在最优控制问题中的应用。时变情况是指系统中的某些函数，如状态方程或性能指标，随时间变化，导致问题变为非定常最优控制问题。在这种问题中，目标是寻找一个在特定时间区间内的控制输入，使得性能指标达到极值。 7.1 最优控制概述 最优控制是控制理论的一个重要分支，旨在寻找最佳控制策略，使系统按照预设的性能标准运行。在时变系统中，由于系统参数随时间变化，找到最优控制输入变得更加复杂。 7.2 变分法 变分法是解决最优控制问题的基础，它通过求解泛函的极值来确定最优路径。然而，这种方法在处理有限制的控制输入时显得局限，因为控制域可能不是整个控制空间，而是受限于特定的约束条件。 7.3 变分法在最优控制中的应用 在无约束的情况下，变分法能有效地找到最优控制。但实际问题中，控制量通常受到大小或取值的限制，这就需要更复杂的理论来处理。 7.4 极大值原理 庞特里亚金的极大值原理提供了解决有约束控制问题的新途径。该原理指出，在满足一定条件下，最优控制路径使得泛函的拉格朗日乘子（即辅助函数H）在其所有变量上取极大值。极大值原理不仅适用于控制量受不等式约束的情况，还能处理在闭集边界上的最优控制问题，这是古典变分法无法做到的。 7.5 线性二次型最优控制 线性二次型最优控制是现代控制理论中的一个经典问题，涉及到线性系统和二次型性能指标。这类问题可以通过解析方法得到闭式解，如著名的卡尔曼滤波器和林德伯格-莱维茨定理。 7.6 动态规划与离散系统最优控制 动态规划是由贝尔曼提出的，它是解决离散时间最优控制问题的有效方法。动态规划通过对状态空间进行递归划分，逐阶段优化决策，最终找到全局最优解。 7.7 Matlab问题 Matlab是解决最优控制问题的强大工具，提供了诸如`fmincon`等优化函数，可以用来实现极大值原理和其他最优控制算法的数值求解。 本章小结 这一章深入探讨了时变系统最优控制的问题，介绍了极大值原理作为解决有约束控制问题的重要理论，以及其在现代控制理论中的应用。极大值原理不仅扩展了古典变分法的适用范围，还为解决实际工程问题提供了强大的理论支持。