线性系统理论：二次型函数与零极点对消

"二次型函数定号性在现代控制理论中的应用" 在现代控制理论中，二次型函数的定号性是研究系统性能和稳定性的重要工具。这个概念在第3.7节的状态能控性能观性与传递函数矩阵中被深入讨论。传递函数矩阵是分析系统动态行为的关键，它描述了系统输入到输出的传递关系。对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数矩阵的特性直接影响系统的能控性和能观性。 首先，一个线性定常系统（LTI）被认为是状态完全能控且完全能观的，当且仅当其传递函数矩阵的分母多项式是n次的。换句话说，如果系统的传递函数矩阵在$sI-A$中没有零极点对消，那么系统就是完全能控的；而在$C(sI-A)^{-1}B$中没有零极点对消，则系统是完全能观的。这里的$s$是复频变量，$A$是状态矩阵，$B$是输入矩阵，$C$是输出矩阵，$I$是单位矩阵。 其次，如果在传递函数矩阵的分母中出现零极点对消，这通常意味着系统的某些状态不能通过控制输入或测量输出来完全控制或观察。例如，如果在$B(sI-A)^{-1}$中有零极点对消，系统状态不完全能控；如果在$(sI-A)^{-1}C$中有零极点对消，系统状态则不完全能观。 然而，当涉及到多输入多输出（MIMO）系统时，单输入单输出系统的结论不再适用。零极点对消的条件不再是充分条件，仅是必要条件。这意味着在MIMO系统中，即使没有零极点对消，系统也可能不是完全能控或能观的。因此，分析MIMO系统的能控性和能观性需要更复杂的方法。 接下来，我们进入第四章——稳定性与李亚普诺夫方法。李亚普诺夫稳定性理论是控制理论的核心，它提供了判断系统稳定性的一般框架。李亚普诺夫第一法基于能量函数（或称为李亚普诺夫函数），通过分析系统在任意初始状态下的能量变化来评估稳定性。而李亚普诺夫第二法则引入了李亚普诺夫矩阵不等式，用于判断系统的渐近稳定性。 二次型函数的定号性与传递函数矩阵在现代控制理论中起着至关重要的作用，它们帮助我们理解并分析系统的行为，特别是能控性、能观性和稳定性。无论是单输入单输出还是多输入多输出系统，理解和掌握这些概念都是设计和分析控制系统的基础。