线性空间与内积空间基础：维数、基与坐标详解

在《常见内积空间-矩阵论引论》这本书中，第二版复习章节主要探讨了线性代数的基本概念，特别是关于线性空间、内积空间以及线性子空间的理论。以下是一些关键知识点的详细解释： 1. **线性空间与维数**： - 线性空间V是一个集合，其中包含加法和数乘运算，且这两个运算满足八个基本性质。 - V的维数(dim(V))定义为V中线性无关向量的最大可能个数。如果存在一组n个线性无关的向量，它们可以表示V中的任何向量，那么这组向量构成了一组基，并且维数为n。 2. **基与坐标表示**： - 基是线性空间中的一个特殊向量集合，任何向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。 - 如果有一组基{α_1, α_2, ..., α_n}，则任意向量x可以表示为一个n元列向量(x_1, x_2, ..., x_n)，其中x_i是x在基下的坐标，即x = T·(x_1, x_2, ..., x_n)，其中T是相应的基变换矩阵。 3. **线性子空间**： - 非空子集W成为V的子空间，当且仅当它满足加法封闭（对所有w, w'∈W, w+w'∈W）和数乘封闭（对所有λ∈F, λw∈W），其中F是实数或复数域。 - 若两个向量集合s和t分别线性无关，且它们的张成的空间L(s)与L(t)等价，意味着s和t具有相同的秩(rank)，即它们能生成的线性子空间维度相同。 4. **子空间的判定**： - 设s={s_1, s_2, ..., s_k}是V的一组向量，若W={x∈V | x=Ps, P是k×n矩阵}，则W是V的子空间，条件是矩阵P的秩(rank(P))等于s的维数k。 5. **子空间的性质**： - 如果S和T是线性空间V的子空间，那么它们的交集S∩T以及它们的和S+T也都是V的子空间。 通过这些知识点，复习者可以理解线性空间的基本构造，掌握如何通过基和坐标来表示向量，以及如何通过子空间的定义和性质来分析线性代数问题。对于期末考试复习而言，理解这些概念是至关重要的，因为它们构成了后续深入研究如线性变换、特征值问题等的基础。