偏最小二乘法：变量多于样本的应用与特点

偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares)是一种在多元统计分析中广泛应用的工具，特别是在分析化学领域，如紫外光谱、气相色谱和电分析化学。PLS的特点在于它针对自变量个数(m)多于试样个数(n)的情况设计，通过主成分分析的数学基础构建替潜变量，这些变量的数量通常少于原始自变量，使得这种方法更为适用。 多元线性回归(MLR)是PLS的基础，当有m个自变量和单个因变量时，可以用线性模型表示为y = Xb + e，其中e是误差项。当n个试样存在时，模型变为矩阵形式y = XB + e，其中X是自变量的矩阵，B是回归系数向量，n代表试样数，m代表自变量数。 关键点包括： 1. m > n (过拟合): 当自变量数量超过试样数，模型中存在无数解，这时称为过拟合，可能会导致预测性能在新数据上的泛化能力下降。 2. m = n (满秩条件): 如果自变量与试样数相等且X矩阵满秩，那么只有一个唯一的解b，这在实践中极为罕见，意味着模型简单且预测精准，但现实中这样的情况不多见。 3. m < n (欠拟合): 若自变量数量小于试样数，虽然无法获得精确的回归系数，但可以通过最小化残差矢量e找到近似的解，这类似于最小二乘法，但更适用于PLS。 4. 多因变量处理: 当面对多个因变量时，可以将每个因变量与自变量的关系表示为独立的线性方程组，如y1 = Xb1 + e和y2 = Xb2 + e。 总结来说，PLS方法提供了一种在自变量多于样本数的复杂问题中有效提取潜在关系的技术，尤其是在化学领域中的化合物结构-活性研究。理解并掌握这一方法有助于我们在实际数据分析中做出准确和有用的预测。