图像处理：从连续到离散，傅立叶到小波变换

"本资源主要涵盖浙江大学《数字图像处理》第三章的内容，包括连续图像的数学描述、图像的数字化、离散图像的数学描述、图像变换的相关预备知识、二维连续傅立叶变换、采样定理、二维离散傅立叶变换、随机场、数字图像的矩阵表达、K-L变换以及重点讲解的小波变换。" 在《数字图像处理》第三章中，连续小波变换是核心概念之一。小波变换是一种数学工具，它能够对信号或图像进行局部分析，同时兼顾时间和频率信息。小波变换的理论基础在于基本小波函数Φ(x)，这个函数需要满足一些特定的要求，例如具有有限支撑、零均值、紧支撑等特性，以便能够精确地捕捉到信号的局部特征。 小波基函数由两个参数控制：a尺度因子和b平移因子。尺度因子a决定了小波函数的伸缩，它可以改变分析的时间尺度或频率分辨率；平移因子b则决定了小波函数在时间轴上的位置，从而可以对信号的不同部分进行分析。小波变换通过调整这两个参数，可以实现对不同尺度和位置的信号特征进行分析。 在图像处理领域，小波变换特别有用，因为它能够提供多分辨率分析。相比于傅立叶变换，小波变换在处理非平稳信号（如图像中的边缘和突变）时更具有优势。它可以在不丢失细节的情况下压缩图像数据，这对于图像压缩和去噪非常有效。此外，小波变换还可以用于图像的特征提取和图像的复原。 在这一章中，还介绍了图像的数学描述，包括连续图像和离散图像的表示方式。连续图像的数学描述涉及入射光、透射率、反射率以及相对视敏函数等概念，这些因素影响着我们看到的图像。图像的数字化过程包括均匀和非均匀采样以及量化，其中非均匀采样和量化可以提高图像再现的质量，特别是在图像细节丰富的区域。 二维连续傅立叶变换和二维离散傅立叶变换是图像频域分析的基础，它们分别用于连续和离散图像的频谱表示。采样定理则规定了如何正确地从连续信号中采样以避免信息损失。K-L变换，即Karhunen-Loève变换，是一种统计降维技术，常用于图像压缩和特征提取。 最后，本章提到了随机场，它是一种随机过程在空间上的扩展，常用于描述自然图像的统计特性。通过这些理论，我们可以更好地理解和处理数字图像的各种问题，如图像增强、复原、压缩等。