线性代数基础与应用

"Jim Hefferon的Linear Algebra教材部分章节" 线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、线性变换等概念及其在几何、物理学、工程学等多个领域的应用。英文术语“Linear Algebra”表示的就是这一领域。在本资料中，我们能看到一些基本的线性代数符号和概念的定义。 1. 符号与术语： - R、R+、R^n：分别代表实数集、正实数集以及n维实数向量。 - N：自然数集，包含0、1、2等所有正整数。 - C：复数集，由实部和虚部构成的数。 - (a..b)、[a..b]：表示实数之间（开区间或闭区间）的区间。 - ⟨⟩：序列，有序集合。 - V、W、U：表示向量空间。 - ⃗v、⃗w：表示向量。 - ⃗0、⃗0V：零向量，V空间的零向量。 - B、D：基。 - En=⟨⃗e1,...,⃗en⟩：n维欧几里得空间的标准基。 - ⃗β、⃗δ：基向量。 - RepB(⃗v)：向量v在基B下的坐标矩阵。 - Pn：n次多项式集合。 - Mn×m：n乘以m的矩阵集合。 - [S]：集合S的生成空间（span）。 - M⊕N：两个子空间的直和。 - V∼=W：同构的空间。 - h、g：同态，线性映射。 - H、G：矩阵。 - t、s：自映射，从一个空间到自身的映射。 - T、S：方阵。 - RepB,D(h)：映射h在基B、D下的矩阵表示。 - hi,j：矩阵H的第i行第j列元素。 - |T|：矩阵T的行列式。 - R(h)，N(h)：映射h的值域和核（零空间）。 - R∞(h)，N∞(h)：广义值域和广义核。 2. 线性代数基本概念： - 向量空间：满足加法和标量乘法的规则的集合，例如R^n。 - 基：能够通过线性组合表示空间内所有向量的一组向量。 - 矩阵：二维数组，用于表示线性变换。 - 矩阵乘法：描述线性变换的复合。 - 行列式：衡量方阵是否可逆的标量，行列式非零表示矩阵可逆。 - 矩阵的秩：矩阵列向量生成的空间的维度，即最大线性无关向量组的数量。 - 范数：衡量向量大小的度量，比如欧氏范数。 - 零空间：线性映射h的核，所有被映射为零向量的向量集合。 - 值域：线性映射h的所有可能输出向量的集合。 - 广义值域和广义核：考虑无限次幂运算后的范围和核。 3. 应用： - 在计算机图形学中，矩阵用于旋转、缩放和平移图形。 - 在物理学中，量子力学中的波函数就是通过线性代数来描述的。 - 在机器学习和数据科学中，线性代数是处理高维数据和构建模型的基础。 这个资源提供了一套线性代数的基本符号和术语，适合初学者或者需要复习的人群。通过学习这些概念，读者可以更好地理解和应用线性代数理论，为更深入的数学探索奠定基础。