最长上升子序列问题解题思路与算法分析

"该资源是一道关于算法的解题思路，特别是解决最长上升子序列（LIS，Longest Increasing Subsequence）问题。" 这道题目是经典的动态规划问题，目标是从给定的一串数字中找到最长的递增子序列。最长上升子序列是指在一个序列中，任意两个相邻的元素都满足递增关系的子序列，并且这个子序列是所有满足条件的子序列中最长的。 1. 题目描述： 输入是多组数据，每组数据包含一个正整数n，表示队伍人数，以及n个正整数，代表队伍中队员的身高。你需要找出这些身高数据中，长度最长的递增子序列。 2. 输入输出示例： 例如，当输入为7个人的身高数据1735948时，最长递增子序列有长度为4的（1、3、5、9），输出应为4。另一组示例是6个人的身高数据135246，最长递增子序列长度也为4。 3. 解题思路： 解这个问题有两种主要算法，时间复杂度分别是O(n^2)和O(n log n)。 4. O(n^2)算法： 这种算法思路简单但效率较低。首先，对于序列的最后一个元素，其最长递增子序列长度为1。然后，从倒数第二个元素开始遍历，根据当前元素与前一个元素的大小关系，更新最长递增子序列的长度。具体步骤如下： - 初始化一个长度为n的数组len，用于记录以每个元素结尾的最长递增子序列的长度。 - 初始化一个数组next，记录每个位置的下一个元素的位置。 - 通过两层循环，遍历每个元素并更新len数组，同时更新next数组。 5. O(n log n)算法（也称为二分查找法）： 这是一种更高效的算法，利用了动态规划和二分查找。定义一个数组F，其中F[t]表示以序列中的第t个元素结尾的最长递增子序列的长度。初始时，F[0], F[1], ..., F[len(A)-1]全为0。动态规划方程如下： - 对于每个元素t，用二分查找在F数组中找到第一个大于等于A[t]的元素j，如果找到，更新F[t]为F[j-1]+1。 通过这种方式，F数组最终会存储所有可能的递增子序列的长度，而最大的那个值就是所求的最长上升子序列的长度。 总结来说，解决最长上升子序列问题需要理解动态规划的概念，选择适合的算法，如O(n^2)或O(n log n)，并能够正确实现相应的数据结构（如len和next数组或F数组）来存储中间结果和进行计算。这种问题在编程竞赛和算法学习中十分常见，是提升算法思维能力的良好练习。