ACM竞赛中的数论知识与素数算法

"重庆理工大学-ACM数论" 在ACM（国际大学生程序设计竞赛）和信息学竞赛中，数论是重要的知识领域，特别是在解决算法问题时常常被运用。数论涉及到的主要概念包括整除、素数和合数，以及它们的相关性质和算法。 整除是数论中的基础概念。如果两个整数a和b（a≠0）满足存在整数c使得b=ac，我们就说a整除b，记作a∣b。相反，如果a不能整除b，则记作a ⊥b。整除具有以下基本性质： 1. 如果a∣b且a∣c，那么a∣(b+c)。这是整除的加法性质。 2. 如果a∣b，那么对于所有整数c，a∣bc。这是整除的乘法性质。 3. 若a∣b且b∣c，那么a∣c。这是整除的传递性。 素数是仅由1和其本身能整除的正整数，而合数则是至少有两个不同正因子的正整数。判断一个数n是否为素数，可以采用朴素的判别法，即从2开始尝试除以小于n的所有自然数，但这种方法的时间复杂度较高，为O(n)。更高效的算法是检查n是否有不大于n的平方根的因子，时间复杂度为O(n^1/2)。 算术基本定理指出，每个正整数都能唯一地分解为素数的乘积，素数因子按非递减顺序排列。例如，12=2×2×3。 最大公约数（GCD，Greatest Common Divisor）和最小公倍数（LCM，Least Common Multiple）是数论中的重要概念。GCD(a, b)是a和b的最大公约数，LCM(a, b)是a和b的最小公倍数。两者之间有关系：ab=GCD(a, b)×LCM(a, b)。若GCD(a, b)=1，我们称a与b互素。 在编程中，求解一定范围内所有素数的问题是常见的。对于小范围的n，可以使用一个简单的算法，遍历从2到n，对于每个数i，检查2到√i之间是否有因子，若没有则i是素数。但当n非常大时，这种算法效率低下。这时，可以采用更优化的算法，如埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。基本思路是创建一个布尔数组，初始化所有奇数为真，然后将所有奇数的倍数标记为假，最后保留未被标记为假的数即为素数。改进的版本则只存储奇数，从而减少空间需求。 在ACM数论问题中，理解和熟练运用这些概念及算法是至关重要的，因为它们能够帮助参赛者高效地解决涉及数论的编程挑战。