信息技术经典dp算法详解与实例汇总

本文档是一份关于动态规划算法的总结，涵盖了多个经典问题及其解决方案。动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种通过将大问题分解为相互重叠的小问题来求解最优化问题的算法方法，它通常用于求解具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。 首先，资源问题部分包括了： 1. **机器分配问题**：采用状态转移方程f[i,j]表示在分配给机器j个单元的情况下，前i个任务的最大完成量，其核心思想是取当前状态与上一状态最优解中的较大值。 2. **0/1背包问题**：这是一个经典的组合优化问题，通过比较保留当前物品与不保留时的总价值，决定是否加入背包，f[i,j]表示前i个物品中选取部分放入容量为j的背包能得到的最大价值。 接下来是线性动态规划的应用： 3. **朴素最长非降子序列**：通过比较当前元素和前一个元素，选择其中较大的值作为当前状态的值，找到序列中最大的非降子序列长度。 剖分问题涉及： 4. **石子合并**：计算将石子分为两部分的最小代价，考虑相邻两部分之和加上中间的额外费用。 5. **多边形剖分**：寻找将多边形分割成小部分的最小代价，涉及到三个顶点之间的乘积关系。 6. **乘积最大**：通过枚举中间点，寻找两个区间内乘积最大的组合。 7. **系统可靠性（完全背包）**：解决可靠性问题，考虑物品的冗余度和出错概率，找到最优的配置策略。 贪心的动态规划例子有： 8. **快餐问题**：确定在有限时间内完成订单组合的最优策略，结合贪心策略和时间约束。 9. **过河问题**：在有限步数内，利用贪心策略和状态压缩来达到最短过河路径。 进一步深入剖分问题： 10. **多边形-讨论的动态规划**：考虑四种可能的组合方式，即正正、负负、正负和负正，求得最大收益。 树型动态规划涉及： 11. **加分二叉树**：从左右子节点递归计算加权和的最优解。 12. **选课问题**：通过自顶向下的方式计算多叉树课程选择的最大学分。 计数问题： 13. **砝码称重**：解决用最少的砝码重量来达到特定重量的问题，涉及数组更新。 最后，递推关系展示了两种典型问题： 14. **核电站问题**：定义递推公式计算最优操作序列，涉及前两个状态的调整。 15. **数的划分**：寻找将整数n分解为若干个非负整数和的最小数量，具有经典的递推形式。 这份总结详细介绍了动态规划在各种问题上的应用，旨在帮助读者理解和掌握动态规划方法，并能够将其运用到实际问题中。