五点差分法Matlab解椭圆偏微分方程实例与程序

本文档提供了一种使用五点差分法在Matlab中解决椭圆型偏微分方程（PDE）的方法。给定的方程是二维的，具体形式为 \( U_{xx} + U_{yy} = (\pi^2 - 1)e^x\sin(\pi y) \)，在区域 \( 0 < x < 2 \) 和 \( 0 < y < 1 \) 内满足边界条件： 1. \( U(0, y) = \sin(\pi y) \), \( U(2, y) = e^2\sin(\pi y) \) 对于 \( 0 \leq y \leq 1 \) 2. \( U(x, 0) = 0 \), \( U(x, 1) = 0 \) 对于 \( 0 \leq x \leq 2 \) 五点差分法是一种数值方法，通过将连续域上的问题离散化到网格上，利用有限差分近似来逼近偏微分方程的解。在这个例子中，作者使用了Gauss-Seidel迭代法来求解由五点差分公式得到的系统线性方程组。 程序开始时定义了一个 \( n \times m \) 的网格，其中 \( m \) 是 \( y \) 方向的网格数，\( n \) 是 \( x \) 方向的网格数。然后初始化边界条件，计算各网格点处的函数值，并设置误差 \( e \) 和最大迭代次数 \( kmax \)。在主循环中，使用五点差分公式更新网格点上的 \( U \) 值，并在满足误差条件或达到最大迭代次数后停止迭代。 最后，程序展示了如何在Matlab环境中执行此算法，调用 `wudianchafenfa` 函数，传入参数如步长 \( h \)、网格大小 \( m \) 和 \( n \)、最大迭代次数 \( kmax \) 以及误差阈值 \( ep \)。运行后，它会生成一个三维表面图 \( surf(x, y, u) \)，显示解 \( u(x, y) \) 在指定区域内的分布，以及误差 \( e(x, y) \) 与精确解 \( p(x, y) = e^x\sin(\pi y) \) 的差异。通过这个例子，读者可以学习如何在实际问题中应用五点差分法，并理解Matlab编程在数值计算中的应用。