NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines，非均匀有理B样条）是一种在计算机图形学和几何建模中广泛使用的数学工具，它在表示复杂的曲线和曲面时具有很高的灵活性和精确性。NURBS不仅保留了B样条的局部控制和参数连续性的优点，还能够统一表示各种类型的几何形状，包括二次曲线和曲面。
NURBS曲线具有以下关键特性：
1. **局部性质**：NURBS曲线的局部修改只影响曲线的相应部分，这使得设计师可以精确控制曲线的形状。
2. **不变性**：NURBS曲线在仿射和透视变换下保持形状不变，这在进行几何操作时非常有用。
3. **参数连续性**：NURBS曲线在重复度为r的节点处沿参数方向具有Ck-r参数连续性，这意味着曲线的光滑程度可以通过调整节点来控制。
4. **权因子**：权因子ωi,j是NURBS中的重要概念，它们可以量化地改变曲线在特定控制顶点处的形状，实现对曲面的局部推拉。
5. **节点与重复度**：在构建NURBS曲线时，通常会设置重复度等于参数次数加1的重节点，以确保端点处的连续性。
对于NURBS曲面，有以下特点：
1. **曲面表示**：NURBS曲面是由NURBS曲线沿两个参数方向(u，v)交织而成，通过控制顶点和相应的权因子来定义。
2. **曲面性质**：
- **基函数性质**：NURBS曲面的基函数同样具有局部支持和线性组合的性质，这使得曲面的修改局部化。
- **一般性质**：NURBS曲面可以是开放或闭合的，并且可以被划分为四种类型，根据节点向量的重复度和分布。
3. **形状因子**：NURBS曲面上的形状因子与NURBS曲线类似，控制着曲面在各个控制顶点处的形状和曲率。
4. **角点处理**：在NURBS曲面的边界上，角点的形成是通过将控制顶点设置为重节点来实现的，这使得边界曲线的偏导矢在端点处连续。
NURBS曲面相比于传统的B样条曲面，解决了表示二次曲线和曲面的问题，它能够精确地表示这些初等几何形状，而不会引入近似误差。这种扩展使得NURBS成为现代CAD系统和3D建模软件中的标准工具。
NURBS曲线和曲面与三次曲线的比较，主要体现在表达能力的全面性和适应性上，NURBS可以适应更广泛的几何形状，并提供了更好的控制和精度。这使得NURBS在工程、艺术和科学领域都有广泛的应用。
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