卡尔曼滤波：基于高斯白噪声的动态系统状态估计

高斯白噪声假设在卡尔曼滤波器的理论分析中扮演着关键角色。在本文中，作者假定随机向量序列遵循高斯分布，这是一个重要的简化假设，因为它使得后续的数学推导变得更为直观和易于处理。高斯分布的特点包括均值和方差完全确定了其概率密度函数，这在滤波过程中有助于建立精确的概率模型。 卡尔曼滤波器由美国数学家鲁道夫·卡尔曼提出，他在1960年的论文中首次阐述了这种动态系统状态估计的方法。该滤波器的核心思想是根据系统的历史状态信息和当前的观测数据，通过递归的方式更新对系统状态的估计。这种方法特别适用于线性动态系统，即使系统参数随时间变化，也能得到有效的状态估计。 在系统模型中，状态变量xk是未知的，但可以通过测量得到的yk来推断。系统受到过程噪声wk和测量噪声vk的影响。通常假设这些噪声是独立同分布的，且满足高斯分布，这在卡尔曼滤波的理论分析中至关重要。矩阵A、B、C、Q和R分别对应系统动态、控制输入影响、状态转移、过程噪声协方差和测量噪声协方差，它们共同定义了系统的动态行为。 状态估计问题是卡尔曼滤波的核心，目标是寻找能够准确反映系统状态的估计值。在一次样本运行中，给定观测值yk的实际取值，通过条件期望或最优均方误差估计来更新状态估计。条件期望E(X|Y)是指在已知Y的条件下，X的最佳预测值，而最优均方误差估计则是寻找一个估计值X^，使得E[(X-X^)²]达到最小，即最小化估计误差的平方。 高斯白噪声假设和卡尔曼滤波器的结合使得复杂动态系统的状态估计问题得以简化，并在诸如导航、控制系统和信号处理等领域中发挥重要作用。尽管实际应用中可能需要对这些假设进行适当放宽，但在理论分析和初步设计中，高斯分布的假设对于理解和实现卡尔曼滤波器的精髓是至关重要的。