滑移线场理论：平面塑性应变问题的简单推证

"平面塑性应变问题中滑移线场应力方程推证的一种方法 (1981年)" 平面塑性应变问题涉及到材料在受力时的非弹性变形，尤其是在塑性区域内的行为。滑移线场理论是解决这类问题的关键工具，尤其在分析金属塑性加工过程如锻造、冲压、挤压、拉拔和轧制等方面有广泛应用。滑移线是指在塑性变形区域内，材料内部剪切应力达到最大值的轨迹，它们分为α族和β族，这两族滑移线正交分布，形成滑移线网络。 该论文提出了一个简化方法，将通常通过偏微分方程来处理的滑移线场问题转化为常微分方程。这种方法对于理解和推导 Hencky 方程（滑移线场的基本应力方程）更加直观和易于接受，特别是对于初学者来说。Hencky 方程描述了在平面塑性应变情况下，沿滑移线的应力分布情况，对于α族滑移线，应力方程为 σ - 2Kθ = Cα；而对于β族，方程为 σ + 2Kθ = Cβ。其中，σ 表示平均应力，K 是剪切屈服极限，θ 是沿滑移线的角变量，Cα 和 Cβ 是常数。 论文中指出，对于刚塑性材料，剪切屈服极限 K 保持不变，且在平面塑性变形时，材料中最大剪应力的方向是确定的，并且互相垂直。通过连接这些最大剪应力方向形成滑移线网络，可以分析材料内部的应力状态。作者选取了一个由两对滑移线界定的微小单元体 p 进行分析，定义了坐标系统和滑移线的切向角度 θ。 已知滑移线场中任一点的 θ 和平均应力 σ，可以利用以下关系表达应力分量： τx = σ - Ksin²(θ)， τy = σ + Ksin²(θ)， τxy = Kcos²(θ)。 随后，通过平衡微分方程（考虑正交坐标系下的剪力和弯矩平衡）和上述的应力表达式，论文推导出包含未知函数 θ 的常微分方程组，即方程 (5) 和 (6)。这些方程对于解析滑移线场的分布至关重要，为理解材料塑性变形提供了理论基础。 这篇1981年的论文提供了一种简化滑移线场应力方程推导的新方法，使得 Hencky 方程的求解更为简便，对理解和应用滑移线场理论有积极的促进作用，特别对于工程计算和材料科学的教学具有实践价值。